首先,Lucas(卢卡斯)定理是什么?有什么用?
Lucas定理是用来求 C(n,m) mod p,p为素数的值。(注意:p一定是素数)
有人会想,C(n,m)不能用C(n, m) = C(n - 1,m) + C(n - 1, m - 1)的公式来递推吗?
( 提示:C(n, m) mod p = n!/(m!(n - m)!) mod p )
可以是可以。但当n,m,p都很大时,你递推所用的时间就会很爆炸了。所以,这就需要用到Lucas定理来解决了。
因此,Lucas定理用来解决大组合数求模是很有用的。
注意:Lucas定理最大的数据处理能力是p在10^5左右,不能再大了。再大的话,我就不知道了。。。智障啊
表达式:C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p。(可以递归)
递归方程:(C(n%p, m%p)*Lucas(n/p, m/p))%p。(递归出口为m==0,return 1)
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Lucas定理定义::
这里我们令n=sp+q , m=tp+r .(q ,r ≤p)
那么:
(在编程时你只要继续对
调用Lucas定理即可。
)
(代码可以递归的去完成这个过程,其中递归终点为
t = 0
)
(时间复杂度
O(logp(n)*p)
:)
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Lucas定理
证明
:
首先你需要这个算式:
,
其中f > 0&& f < p。
然后(1 + x) nΞ(1 + x) sp+q Ξ( (1 + x)p)s· (1 + x) q Ξ(1 + xp) s· (1 + x) q(mod p) 。
所以得(1 + x) sp+q
我们求右边的
的系数为:
求左边的
为:
通过观察你会发现当且仅当i = t , j = r ,能够得到
的系数,及
。
所以,。得证。
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我再次将它公式化一下。
For non-negative integers m and n and a prime p, the following congruence relation holds:
where
and
are the base
p
expansions of
m
and
n
respectively.
已知C(n, m) mod p = n!/(m!(n - m)!) mod p。显然是除法取模,这里又要用到m!(n-m)!的逆元。
求逆元(此处不详细说明了(ˇˍˇ) )。。。
根据费马小定理:
已知(a, p) = 1,则 ap-1 ≡ 1 (mod p), 所以 a*ap-2 ≡ 1 (mod p)。
也就是 (m!(n-m)!)的逆元为 (m!(n-m)!)p-2 。
按照上面的思路就可以写出Lucas定理的代码了:
#include <iostream> using namespace std; typedef long long ll; ll N,M,fac[10010]; ll p=10007; ll fast_pow(ll a,ll k,ll mod){ ll ans=1; while(k){ if(k&1) ans=(ans*a)%mod; a=(a*a)%mod; k>>=1; } return ans; } ll C(ll n,ll r){ if(n<r) return 0; return fac[n]*fast_pow(fac[r]*fac[n-r],p-2,p)%p; } ll lucas(ll n,ll m){ if(m==0) return 1; return (C(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p))%p; } int main(){ fac[0]=1; for(int i=1;i<p;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%p; while(cin>>N>>M) cout<<lucas(N,M)<<endl; return 0; }