一、题目
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问题描述
X国的一段古城墙的顶端可以看成 2*N个格子组成的矩形(如下图所示),现需要把这些格子刷上保护漆。
你可以从任意一个格子刷起,刷完一格,可以移动到和它相邻的格子(对角相邻也算数),但不能移动到较远的格子(因为油漆未干不能踩!)
比如:a d b c e f 就是合格的刷漆顺序。
c e f d a b 是另一种合适的方案。
当已知 N 时,求总的方案数。当N较大时,结果会迅速增大,请把结果对 1000000007 (十亿零七) 取模。
输入格式
输入数据为一个正整数(不大于1000)
输出格式
输出数据为一个正整数。
样例输入
2
样例输出
24
样例输入
3
样例输出
96
样例输入
22
样例输出
359635897
二、解题思路
自己用传统的动态规划做,翻车了。。。找了一下资料,理解了大佬的思路,因为自己实在理解得太久了,就啰嗦的介绍一下大佬的思路,希望以后看到的朋友理解起来容易点。
首先,对这些墙刷油漆主要分为两大类:
1.从最边缘的四个格子出发,然后遍历完所有格子;
2:从中间的某个格子出发,先遍历完一边的格子,回到这个格子所对的格子,然后遍历另一边的格子。
所以,我们不妨用两个数组来表示这两种情况:
1.a[i]数组表示从最边缘的四个格子中某个出发,遍历完长度为i,个数为2i个格子的所有种类数;
2.b[i]数组表示从除了最边缘的四个格子外的某个中间的格子出发,遍历完一边回到所对的格子;
然后,我们来分别分析a[i]和b[i]两种不同的情况:
1.a[i]第一种情况:
如下图所示,比如从a点出发,第一步走下面的b点,再从b点出发,下一步有两种走法,去c点或d点。接下来的每一列都可能有两种走法,所以第一种情况有:2a[i-1]种
a[i]第二种情况:
如下图所示,第一步a先走到第二列某个格子,然后从第二列的格子出发,遍历完右面所有的格子,再回到第二列格子所对的格子,最后到第一列未遍历的格子。这种情况就是我们定义的b[i];这样每列格子都有一来一回的两个,除第一列,所以b[i]=2b[i-1]
a[i]第三种情况:
就是遍历完一二列的所有格子,从第三列的格子出发,进行遍历。由于遍历完一二列的所有格子有四种情况,所以第三种情况为:4a[i-2];
这里遍历完一二列的所有格子之后为什么是四种情况,如下所示:
因为在第一种情况中第一步已经是走b的,那我们就选择c或d来走,而第二种情况最后已经回到了b,那我们遍历完两列所有的结点就只能停在c或d上。
接下来,就是算总和:
1.四个角:定义sum=4a[n];
2.设从中间第i列开始,则前面有i-1列,后面有n-i列。
如果先遍历c的左边,最后会回到c的对点——d点,那这就是b[i]这种情况了;接着遍历d点的右边,这时分成两种情况,从e开始还是从f开始。不管是从e还是f,右边的遍历情况就是a[i]这种情况了。
如下所示:
前面有i列(包括中间这一列),所以是b[i];后面有n-i列,所以是a[n-i],又因为是两种情况所以是2a[n-i]。
即b[i]2a[n-i],化简得:2b[i-1]2a[n-i];
同理得:先遍历右边,再遍历左边为:2*b[n-i]2a[i-1];
a[1]=1;a[2]=6;b[1]=1; 这个可以自己推算。
三、代码实现
第一次用动态规划做的代码,运行超时了,一分都没得。这不是正确代码!
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int n,count=0;
static int [][]arr;
static int [][]dpxy= {{-1,0},{-1,1},{0,1},{1,1},{1,0},{1,-1},{0,-1},{-1,-1}};
public static void main(String[] args){
Scanner sc=new Scanner(System.in);
n=sc.nextInt();
arr=new int[2][n];
for(int i=0;i<2;i++) {
for(int j=0;j<n;j++) {
arr[i][j]=0;
}
}
for(int i=0;i<2;i++) {
for(int j=0;j<n;j++) {
DP(i,j,1);
arr[i][j]=0;
// System.out.println("结束,当前的count为"+count);
}
}
System.out.println(count);
}
private static void DP(int x,int y,int bu) {
// System.out.println("进入x为"+x+",y为"+y+"的点"+",当前的步数为"+bu);
if(bu==n*2) {
count=(++count)%1000000007;
}
arr[x][y]=1;
for(int i=0;i<8;i++) {
int dx=x+dpxy[i][0];
int dy=y+dpxy[i][1];
if(dx<2 && dx>=0 && dy>=0 && dy<n && arr[dx][dy]==0) {
DP(dx,dy,bu+1);
arr[dx][dy]=0;
}
}
}
}
用大佬思路写的代码
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class Main {
static long mod=1000000007;
public static void main(String[] args) {
Scanner sc=new Scanner(System.in);
int n=sc.nextInt();
long []a=new long[n+1];
long []b=new long[n+1];
long sum;
a[1]=1;a[2]=6;b[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++) {
b[i]=2*b[i-1]%mod;
}
for(int i=3;i<=n;i++) {
a[i]=(2*a[i-1]+b[i]+4*a[i-2])%mod;
}
sum=(4*a[n])%mod;
for(int i=2;i<n;i++) {
sum+=((2*2*a[n-i]*2*b[i-1])%mod+(2*2*a[i-1]*2*b[n-i]%mod))%mod;//这里记得都要取余
sum%=mod;
}
System.out.println(sum);
}
}