Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1 ... n?
Input: 3 Output: 5 Explanation: Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's: 1 3 3 2 1 \ / / / \ \ 3 2 1 1 3 2 / / \ \ 2 1 2 3
题意:
给定n个节点,可形成多少种不同的BST
思路:
如果数组为空,毫无疑问,只有一种BST,即空树, f(0) =1。
如果数组仅有一个元素{1},只有一种BST,单个节点, f(1) =1。
如果数组有两个元素{1,2}, 那么有如下2种可能, f(2)=2。
1 2
\ /
2 1
如果数组有三个元素{1,2,3}, 那么有如下5种可能, f(3)=5。
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1 1 2 3 3 \ \ / \ / / 3 2 1 3 2 1 / \ / \ 2 3 1 2
由此得出规律,
对于任意以i为根节点的二叉树,
其左子树的值一定小于i,也就是[0, i - 1]区间,
而右子树的值一定大于i,也就是[i + 1, n]区间。
假设左子树有m种排列方式,而右子树有n种,则对于i为根节点的二叉树总的排列方式就是m x n
卡特兰数(Catalan)递归式:f(n) = f(1)*f(n-1) + f(2)*f(n-2) + ... + f(n-1)f(1)
代码:
1 class Solution { 2 public int numTrees(int n) { 3 if(n < 1) return 0; 4 int[] dp = new int[n+1]; 5 dp[0] = 1; 6 dp[1] = 1; 7 for(int i = 2; i <= n; i++){ 8 for(int j = 0; j < i; j++){ // 这里 j < i 不能写成 j <= i 容易弄混,就走个例子 i=3时, j=0,1,2 9 dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1]; 10 } 11 } 12 return dp[n]; 13 } 14 }