定理
先看一个简单例子：有一个二维平面，并已知一个三维空间中的点 \(\alpha\)，要在二维平面上找一个点 \(\eta\)，使得点 \(\alpha\) 到 \(\eta\) 的距离最小。根据经验，找到的这两个点的连线和二维平面垂直时，这个距离才最小。
下面推广一下，点可以用向量表示（两个点之间的连线可以用对应向量的差表示），三维空间推广到一个线性空间，二维平面限制为一个子空间，则有如下定理：
假设 \(W\le V,\alpha\in V\)，则
\[d(\alpha,\eta)=\mathop{\min}_{\xi\in W} d(\alpha,\xi) \Leftrightarrow \alpha-\eta \perp W \]
称 \(\eta\) 是 \(\alpha\) 在 \(W\) 中的正投影。
问题
在 \(R^3\) 中，已知 \(\alpha_1=[1,2,-1]\),\(\alpha_2=[2,-1,3]\),\(\alpha=[2,1,2]\)。假设 \(W=L(\alpha_1,\alpha_2)\)，求 \(\alpha\) 在 \(W\) 中的正投影。
解答
设 \(\alpha\) 在 \(W\) 中的正投影为 \(\eta=x\alpha_1 + y\alpha_2\)，则根据上面的定理，有 \((\alpha - \eta)\perp W\)，即
\[(x\alpha_1+y\alpha_2)\cdot \alpha_1 = 0\\ (x\alpha_1+y\alpha_2)\cdot \alpha_2 = 0 \]
两个未知数，两个方程，求出 \(x,y\)，即可求出正投影 \(\eta\)。