1.问题描述

给定n个大小不等的圆c1，c2，…，cn，现要将这n个圆排进一个矩形框中，且要求各圆与矩形框的底边相切。圆排列问题要求从n个圆的所有排列中找出有最小长度的圆排列。例如，当n=3，且所给的3个圆的半径分别为1、1、2时，这3个圆的最小长度的圆排列如图，其最小长度为2+4√2。

2.算法分析

该问题是一个排列问题，问题的解存储在序列r={r1,r2,r3…}中，问题的解空间树是一颗排列树。用x={x1,x2,x3…}表示当前排列的各个圆的圆心。

• 下界函数：用Center(t)计算新增圆的圆心，每次新增一个圆则排列的序列会增长，比较center(t)+r[t]+r[0]这个值（注意不是序列中总长，只是t号圆的最右端的长度）和已知序列长度min比较，如果大于min则剪枝。
• 实现：遍历r[0:t-1]序列,假设新增圆与其相切，(rt+rj)^2-(rt-rj)^2=4*rj*rt=>x[t]=x[i]+2.0*sqrt(r[t]*r[i])
  

float center(int t)//计算t圆的圆心x坐标
{
    float res=0;
    for(int i=0;i<t;i++)
    {//(rt+rj)^2-(rt-rj)^2=4*rj*rt
        float temp=x[i]+2.0*sqrt(r[t]*r[i]);
        if(temp>res) res=temp; 
    }
    return res;
}

• 用compute计算整个序列的长度，遍历每一个圆，记录左端low和右端high，迭代得到low的最小值和hight的最大值，最后做差即可得到序列长度。
  

void compute()
{
    float low=0,high=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        float tempLow=x[i]-r[i];
        float rempHigh=x[i]+r[i];
        if(tempLow<low) low=tempLow;
        if(rempHigh>high) high=rempHigh;
    }
    if(high-low<minx) minx=high-low;
}

3.算法实现

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
const int maxn=100005;
int n;
float minx=1e7;
float x[maxn]={0},r[maxn]={0};
float center(int t)//计算t圆的圆心x坐标
{
    float res=0;
    for(int i=0;i<t;i++)
    {//(rt+rj)^2-(rt-rj)^2=4*rj*rt
        float temp=x[i]+2.0*sqrt(r[t]*r[i]);
        if(temp>res) res=temp; 
    }
    return res;
}
void compute()
{
    float low=0,high=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        float tempLow=x[i]-r[i];
        float rempHigh=x[i]+r[i];
        if(tempLow<low) low=tempLow;
        if(rempHigh>high) high=rempHigh;
    }
    if(high-low<minx) minx=high-low;
}
void circleBacktrace(int t)
{
    if(t>=n) compute();//更新minx
    else{
        for(int i=t;i<n;i++)
        {
            swap(r[t],r[i]);
            float c=center(t);//圆心
            if(c+r[t]+r[0]<minx)
            {
                x[t]=c;
                circleBacktrace(t+1);
            }
            swap(r[t],r[i]);
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>r[i];
    circleBacktrace(0);
    printf("The min arrengment is %f\n",minx);
    system("pause");
    return 0;
}
/*
3
1 1 2
*/

4.算法复杂度

• 时间复杂度：对于排列树，共有n!次计算；另外在每次计算圆心的过程中有O（n）次计算时间，因此整体算法时间复杂度为T（n）=O（（n+1）！）
• 空间复杂度：S（n）=O（n）