1. 配方法

用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，分如下两种情况：

• 情形1：如果二次型 ${f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\text{ },\text{ } \cdots \text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{n}} \right) }$含某平方项，如 x₁的平方项，且 ${a\mathop{{}}\nolimits_{{11}}\text{ } \neq \text{ }0}$ ， 则合并二次型中含 x₁ 的所有交叉项，然后与 x₁² 配方，并作非退化线性变换为：

  ${y\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\text{ }=\text{ }c\mathop{{}}\nolimits_{{11}}x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\text{ }+\text{ }c\mathop{{}}\nolimits_{{12}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ }+\text{ } \cdots \text{ }+\text{ }c\mathop{{}}\nolimits_{{nn}}x\mathop{{}}\nolimits_{{n}}}\\ {y\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ }=\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}}\\ { \vdots }\\ {y\mathop{{}}\nolimits_{{n}}\text{ }=\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{n}}}$

• 得 ${f\text{ }=\text{ }d\mathop{{}}\nolimits_{{1}}y\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}\text{ }+\text{ }g \left( y\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ } \cdots \text{ },\text{ }y\mathop{{}}\nolimits_{{n}} \right) }$ , 其中 ${g \left( y\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ } \cdots \text{ },\text{ }y\mathop{{}}\nolimits_{{n}} \right) }$ 是 ${y\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ } \cdots \text{ },\text{ }y\mathop{{}}\nolimits_{{n}}}$ 的二次型。对于 ${g \left( y\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ } \cdots \text{ },\text{ }y\mathop{{}}\nolimits_{{n}} \right) }$ 重复上述方法，直到化为二次型 f 为标准形为止。

例1： ${f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{4}} \right) }$ = ${x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}+4x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}-2x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{4}}+3x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}-}$ ${2x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}-6x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{4}}+2x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}x\mathop{{}}\nolimits_{{4}}+4x\mathop{{}}\nolimits_{{4}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}$ 用配方法将上式化为标准形，并写出所作的非退化线性变换及其矩阵。

注：此题中它的标准形为 ${f=z\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}-z\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}+z\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}$,它还是四元二次型，只是 ${z\mathop{{}}\nolimits_{{4}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}$的系数为零，所作的线性变换式(2)必须有 y₄ = z₄ 项，否则不是非退化线性变换。

• 情形2：如果二次型 ${f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\text{ },\text{ } \cdots \text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{n}} \right) }$不含平方项，即 a_ij=0，但含某一个 a_ij ≠ 0（i ≠ j），则可做非退化线性变换

  x_i = y_i + y_j
  x_j = y_i - y_j , (k=1,2,….,n ; k ≠ i , j)
  x_k = y_k

• 把 f 化为一个含有平方项 y_i² 的二次型，再用情形1的方法将其化为标准形。

例2： ${f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{3}} \left) =x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}+x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}+x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\right. \right. }$,用配方法将此式化为标准形，并写出所用的非退化线性变换。

2. 初等变换法

初等变换法如下：

1. 第一步写出二次型的矩阵 A，并构造 2n×n 矩阵 ${A \choose E}$
2. 对 A 进行初等行变换和同样的初等列变换（不可交换两行或两列的位置），把A化为对角矩阵D，并对E施行与A相同的初等列变换（切记E并不进行初等行变换），将E化为矩阵C，此时 C’AC = D
3. 第三步写出非退化线性变换 x = Cy，化二次型为标准形 f = y’Dy

补充 ，若第一步构造 n×2n矩阵 (A E)，则第二步将A化为对角矩阵D，并对E施行与A相同的初等行变换 ，将E化为矩阵C，此时C不是我们需要的非退化矩阵！！！对矩阵C进行转置 得到 矩阵F = C’ ，此时矩阵F才是我们求的非退化矩阵！ F’AF = D

例3：用非退化线性替换化 ${f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}},x\mathop{{}}\nolimits_{{2}},x\mathop{{}}\nolimits_{{3}} \left) =x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}+2x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}+\right. \right. }$ ${2x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}+4x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}+4x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}$ 为标准形，并利用矩阵验算所得结果。

3. 正交变换法

主轴定理 ： 任给二次型 ${f={\mathop{ \sum }\limits_{{i,j=1}}^{{n}}{a\mathop{{}}\nolimits_{{ij}}x\mathop{{}}\nolimits_{{i}}x\mathop{{}}\nolimits_{{j}}\text{ } \left( a\mathop{{}}\nolimits_{{ij}}=a\mathop{{}}\nolimits_{{ji}} \right) }}}$,总有正交变换 x = Py，使 f 化为标准形 ${{f= \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{1}}y\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}+ \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{2}}y\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}+ \cdots + \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{n}}y\mathop{{}}\nolimits_{{n}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}$ ，其中 ${ \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{1}}, \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{2}}, \cdots , \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{n}}}$ 是矩阵 A = (a_ij) 的特征值

步骤如下：

1. 写出二次型的矩阵 A
2. 求出 A 的特征值，得 ${ \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{1}}, \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{2}}, \cdots , \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{n}}}$
3. 求出对应的特征向量
4. 将特征向量作施密特正交变换，得到正交的特征向量
5. 将正交的特征向量单位化
6. 将这些单位化向量排成矩阵，得到正交矩阵 Q

例4：用正交变换化二次型为标准形，并求出所用的正交变换 ${f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}},x\mathop{{}}\nolimits_{{2}},x\mathop{{}}\nolimits_{{3}} \left) =x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}+4x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}+x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}\right. \right. }$ ${-4x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}-8x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}-4x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}}$

4. 偏导数法

例5：将二次型 ${f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}},x\mathop{{}}\nolimits_{{2}},x\mathop{{}}\nolimits_{{3}} \left) =-4x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}+2x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}+2x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\right. \right. }$ 化为标准形，并写出所作的非退化线性变换。

5. 顺序主子式法

这种方法限制很大，第一：二次型的前n-1个顺序主子式可能出现0。第二：该方法不能直接算出非退化的变换矩阵。

例6：将二次型 ${f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}},x\mathop{{}}\nolimits_{{2}},x\mathop{{}}\nolimits_{{3}} \left) =x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}+5x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}-4x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\right. \right. }$ 化为标准形。