1. 配方法
用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项,分如下两种情况:
- 情形1:如果二次型
f(x1 , x2 , x3 , ⋯ , xn)含某平方项,如 x1的平方项,且
a11 = 0 , 则合并二次型中含 x1 的所有交叉项,然后与 x12 配方,并作非退化线性变换为:
y1 = c11x1 + c12x2 + ⋯ + cnnxny2 = x2⋮yn = xn
- 得
f = d1y12 + g(y2 , ⋯ , yn) , 其中
g(y2 , ⋯ , yn) 是
y2 , ⋯ , yn 的二次型。对于
g(y2 , ⋯ , yn) 重复上述方法,直到化为二次型 f 为标准形为止。
例1:
f(x1 , x2 , x3 , x4) =
x12+4x1x2−2x1x4+3x22−
2x2x3−6x2x4+2x3x4+4x42 用配方法将上式化为标准形,并写出所作的非退化线性变换及其矩阵。
注:此题中它的标准形为
f=z12−z22+z32,它还是四元二次型,只是
z42的系数为零,所作的线性变换式(2)必须有 y4 = z4 项,否则不是非退化线性变换。
- 情形2:如果二次型
f(x1 , x2 , x3 , ⋯ , xn)不含平方项,即 aij=0,但含某一个 aij ≠ 0(i ≠ j),则可做非退化线性变换
xi = yi + yj
xj = yi - yj , (k=1,2,….,n ; k ≠ i , j)
xk = yk
- 把 f 化为一个含有平方项 yi2 的二次型,再用情形1的方法将其化为标准形。
例2:
f(x1 , x2 , x3)=x1x2+x1x3+x2x3,用配方法将此式化为标准形,并写出所用的非退化线性变换。
2. 初等变换法
初等变换法如下:
- 第一步写出二次型的矩阵 A,并构造 2n×n 矩阵
(EA)
- 对 A 进行初等行变换和同样的初等列变换(不可交换两行或两列的位置),把A化为对角矩阵D,并对E施行与A相同的初等列变换(切记E并不进行初等行变换),将E化为矩阵C,此时 C’AC = D
- 第三步写出非退化线性变换 x = Cy,化二次型为标准形 f = y’Dy
补充 ,若第一步构造 n×2n矩阵 (A E),则第二步将A化为对角矩阵D,并对E施行与A相同的初等行变换 ,将E化为矩阵C,此时C不是我们需要的非退化矩阵!!!对矩阵C进行转置 得到 矩阵F = C’ ,此时矩阵F才是我们求的非退化矩阵! F’AF = D
例3:用非退化线性替换化
f(x1,x2,x3)=x12+2x1x2+
2x22+4x2x3+4x32 为标准形,并利用矩阵验算所得结果。
3. 正交变换法
主轴定理 : 任给二次型
f=i,j=1∑naijxixj (aij=aji),总有正交变换 x = Py,使 f 化为标准形
f=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2 ,其中
λ1,λ2,⋯,λn 是矩阵 A = (aij) 的特征值
步骤如下:
- 写出二次型的矩阵 A
- 求出 A 的特征值,得
λ1,λ2,⋯,λn
- 求出对应的特征向量
- 将特征向量作施密特正交变换,得到正交的特征向量
- 将正交的特征向量单位化
- 将这些单位化向量排成矩阵,得到正交矩阵 Q
例4:用正交变换化二次型为标准形,并求出所用的正交变换
f(x1,x2,x3)=x12+4x22+x32
−4x1x2−8x1x3−4x2x3
4. 偏导数法
例5:将二次型
f(x1,x2,x3)=−4x1x2+2x1x3+2x2x3 化为标准形,并写出所作的非退化线性变换。
5. 顺序主子式法
这种方法限制很大,第一:二次型的前n-1个顺序主子式可能出现0。第二:该方法不能直接算出非退化的变换矩阵。
例6:将二次型
f(x1,x2,x3)=x12+5x1x2−4x2x3 化为标准形。