定义

含有$n$个变量$x_1,x_2,\cdots,x_n$的二次齐次函数

$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_{11}x_1^{2}+a_{22}x_2^{2}+\cdots+a_{nn}x_n^{2}+\\2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+\cdots+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n\tag{1}$$
称为 二次型

所以二次型是二次齐次函数

当$j>i$，取$a_{ij}=a_{ji}$则$2a_{ij}x_ix_j=a_{ij}x_ix_j+a_{ji}x_jx_i$于是$(1)$可以改写为

$$\begin{aligned} f&=a_{11}x_1^2+a_{12}x_1x_2+\cdots+a_{1n}x_1x_n+a_{21}x_2x_1+a_{22}x_2^2+\cdots+a_{2n}x_2x_n+\cdots+a_{n1}x_nx_1+a_{n2}x_nx_2+\cdots+a_{nn}x_n^2\\ &=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j\end{aligned}\tag{2}$$

标准形（法式）

可逆线性变换使得二次型只有平方项

$$\left\{\begin{aligned} x_1=&c_{11}y_1+c_{12}y_2+\cdots+c_{1n}y_n\\ x_1=&c_{11}y_1+c_{12}y_2+\cdots+c_{1n}y_n\\ &\cdots\cdots\\ x_1=&c_{11}y_1+c_{12}y_2+\cdots+c_{1n}y_n\\ \end{aligned}\right.\tag{3}$$

将$(3)$代入$(1)$式，能使

$$f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+\cdots+k_ny_n^2$$

这种只有平方项的二次型，称为二次型的标准型（或法式）
如果标准型中的系数$k_1,k_2,\cdots,k_n$只在$1,-1,0$三个数中取值，也就是用$(3)$代入$(1)$式，能使得：

$$f=y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_r^2$$

则上式称为二次型的规范型
当$a_{ij}$为复数的时候，$f$称为复二次型,当$a_{ij}$为实数的时候，$f$称为实二次型
二次型的矩阵表示

$$A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{pmatrix},\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$$
其中 $A$是 对称矩阵
于是二次型可以写成 $$f=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}$$
$A$称为 二次型$f$的矩阵
$f$称为 对称矩阵A的二次型
对称矩阵的秩称为二次型$f$的秩

定理：
任给二次型$f=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j(a_{ij}=a_{ji})$,总有正交变换$\mathbf{x}=P\mathbf{y}$，使$f$化为标准形：

$$f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$$
其中 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$是 $f$的矩阵 $A=(a_{ij})$的特征值。
推论：任给 $n$元二次型 $f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}\quad(A^T=A)$，总有可逆变换 $\mathbf{x}=C\mathbf{z}$使得 $f(C\mathbf{x})$

正定二次型

定理：
设 二次型$f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}$的秩是$r$，且有两个可逆变换

$$\mathbf{x}=C\mathbf{y}\text{和}\mathbf{x}=P\mathbf{y}$$
使得： $$f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ry_r^2\quad(k_i\neq 0)$$
$$f=\lambda_1z_1^2+\lambda_2z_2^2+\cdots+\lambda_rz_r^2\quad(\lambda_i\neq 0)$$
则 $k_1,k_2,\cdots,k_r$中正数的个数与 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r$中正数的个数相同,这个定理称为 惯性定理。
二次型的标准型中正系数的个数称为二次型的 正惯性指数，负数的个数称为 负惯性指数，
若二次型 $f$的正惯性指数为 $p$，秩为 $r$,则 $f$的规范形便可确定为 $$f=y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_{r}^2$$
定义：
若 $\mathbf{x}$在 $\mathbb{R}^n$中取遍所有 非零向量，一个二次型 $f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}$ 仅取一个符号，则称其为 定的(definite)
若对 $\mathbb{R}^n$中的所有非零 $\mathbf{x}$， $\mathbf{x}^TA\mathbf{x}>0$，则称该二次型为 正定的(positive definite);
若对 $\mathbb{R}^n$中的所有非零 $\mathbf{x}$， $\mathbf{x}^TA\mathbf{x}<0$，则称该二次型为 负定的(negative definite);

若$\mathbf{x}$在$\mathbb{R}^n$中取遍所有非零向量，一个二次型$f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}$取不同符号，则称其为不定的(definite)
若对$\mathbb{R}^n$中的所有非零$\mathbf{x}$，$\mathbf{x}^TA\mathbf{x}\geq0$，则称该二次型为半正定的(positive semidefinite);
若对$\mathbb{R}^n$中的所有非零$\mathbf{x}$，$\mathbf{x}^TA\mathbf{x}\leq0$，则称该二次型为半负定的(negative semidefinite);

二次型的正定或者负定依赖于矩阵$A$，若二次型是正定的，我们简称$A$为正定的
定义：一个实对称矩阵$A$称为
$(1)$正定的(positive definite)，若对$\mathbb{R}^n$中的所有非零$\mathbf{x}$,$\mathbf{x}^TA\mathbf{x}>0$
$(2)$负定的(positive definite)，若对$\mathbb{R}^n$中的所有非零$\mathbf{x}$,$\mathbf{x}^TA\mathbf{x}<0$
$(3)$半正定的(positive definite)，若对$\mathbb{R}^n$中的所有非零$\mathbf{x}$,$\mathbf{x}^TA\mathbf{x}\geq0$
$(4)$半负定的(positive definite)，若对$\mathbb{R}^n$中的所有非零$\mathbf{x}$,$\mathbf{x}^TA\mathbf{x}\leq0$

对称矩阵$A$正定的充分必要条件
$(1)$ $A$的特征值全为正
$(2)$ $A$的各阶主子式都为正，即：

$$a_{11}>0,\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{11}&a_{12}\\\end{matrix}\right|>0,\cdots,\left|\begin{matrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}\\\end{matrix}\right|>0$$

对称矩阵$A$负定的充分必要条件（赫尔维茨定理）：
奇阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即：

$$(-1)^r\left|\begin{matrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}\\\end{matrix}\right|>0\quad(r=1,2,\cdots,n).$$
$(3)$对任意 $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$,有 $\mathbf{x}^TA\mathbf{x}>0$(定义)
$(4)$ $f$的正惯性指数 $p=n$
$(5)$存在可逆矩阵 $D$，使得 $A=D^TD$
$(6)$ $A\simeq E$

矩阵合同的定义与性质

$$B=C^TAC$$
假设 $A,B$为 $n$阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵 $C$，使得
$$C^TAC=B$$
则称 $A$与 $B$合同，记做 $A\simeq B$，此时称 $f(\mathbf{x})$与 $g(\mathbf{y})$为合同二次型。