这是我参与11月更文挑战的第16天,活动详情查看:2021最后一次更文挑战
本文介绍在已经定义好的问题下,二次型导数与极值点相关内容。
导数为0的点是否存在
- 对于一般的二次型:
- 导数为:
- 导数为0的点是否存在与方程 是否有解等价
- 设 为 的秩
- 为增广矩阵, 为增广矩阵的秩,有:
条件 | 结论 |
---|---|
方程组无解,二次型不存在导数为0的点 | |
方程组有唯一解,二次型有唯一导数为0的点 | |
方程组有无数组解,二次型有无数个导数为0的点 | |
不可能,增广矩阵的秩不会变小 |
极值点是否存在
-
当导数为零的点不存在时,即 方程组无解时,极值点不存在
-
当导数为0的点存在时:
- 若 为正定矩阵,则式 有极小值,就是最小值
- 若 为负定矩阵,则式 有极大值,就是最大值
- 若 为半正定矩阵,且存在特征值为0,由于前提是方程组有解,则增广矩阵的秩和矩阵 的秩相等,那么 中对应的值为0,方程组有无限多组解,但需要满足某种条件,在这组条件下,方程组都是极小值,也就是说若 为半正定矩阵则 有极小值,同时就是最小值
- 同理若 为半负定矩阵,则 有极大值,也即最大值
- 若 的特征值有正有负,则 有极小/大值,但不是最小/大值,此时 没有最小/大值
-
为使得讨论有意义,我们之后讨论的 的优化均在 为半正定矩阵的条件下,来寻找其极小值,也就是最小值