1. 背景知识

Lipmaa 2014年论文《Efficient NIZK Arguments via Parallel Verification of Benes Networks》，提出了：

• 一种新的permutation argument，通过使用2014年论文Almost Optimal Short Adaptive Non-Interactive Zero Knowledge 中的product and shift arguments 和paralellizable variant of the Benes network。

Groth 2010年论文 Short Pairing-based Non-interactive Zero-Knowledge Arguments 中提出的CIRCUITSAT argument采用模块化的方式，由一些basic argument——少于10个的basic Hadamard product和permutation argument组成：

• Hadamard product：Given three committed vectors, one of them is an entry-wise product of the other two。
• permutation argument：Given two comitted vectors and a public permutation $\pi$，the coefficients of one vector are $\pi$-permuted coefficients of the second vector。【注意：其中的permutation为public的，对verifier亦为公开的。】

存在的问题是：

• 以上Hadamard product和permutation argument 需要的CRS长度均为vector dimension $n$的平方。
• 以上Hadamard product和permutation argument Prover的computation (in exponentiations)也均为vector dimension $n$的平方。

在Almost Optimal Short Adaptive Non-Interactive Zero Knowledge和Efficient Modular NIZK Arguments from Shift and Product 的基础上，借助Benes Networks to combine $\Theta(\log n)$ product and shift arguments。