Efficient Modular NIZK Arguments from Shift and Product学习笔记

1. 背景知识

Prastudy Fauzi, Helger Lipmaa, and Bingsheng Zhang 2013年论文《Efficient Modular NIZK Arguments from Shift and Product》，提出：

基于shift-by- $\xi$ argument 和 rotation-by- $\xi$ argument构建permutation argument，相应的security reduce to the $\Phi-PSDL$ assumption。
Hadamard product argument
SET-PARTITION argument，用于证明the prover knows a partition of the given set of integers to two sets that have the same sum。（可由2个product argument和1个shift argument组成。）
SUBSET-SUM argument，用于证明the prover knows a non-zero subset of the given set of integers that sums to 0。性能要优于2010年论文《Short Pairing-Based Non-interactive Zero-Knowledge Arguments》和2012年论文《Progression-Free Sets and Sublinear Pairing-Based Non-Interactive Zero-Knowledge Arguments》的CIRCUIT-SAT argument。
DECISION-KNAPSACK argument，可基于SUBSET-SUM argument和range argument组合构建。
scan argument（可由shift argument构建），用于证明one vector is the scan (or sum-of-all-prefixes) of another vector。
range argument
采用FFT based polynomial multiplication to reduce the prover’s computation from $\Theta(n^2)$ to $n^{1+o(1)}$ $\mathbb{Z}_p-$ multiplications。
采用Pippenger’s[31] algorithm to speed up multi-exponentiations运算。

与2010年论文《Short Pairing-Based Non-interactive Zero-Knowledge Arguments》和2012年论文《Progression-Free Sets and Sublinear Pairing-Based Non-Interactive Zero-Knowledge Arguments》的性能对比如下：
在这里插入图片描述

2. 多项式分解

Polynomial factorization in $\mathbb{Z}_p[X]$ can be done in polynomial time [25,230].
Let $PolyFact$ be an efficient polynomial factorization algorithm that on input a degree- $d$ polynomial $f$ outputs all $d$ roots of $f$ 。

3. Hadamard Product Argument

在2012年论文《Progression-Free Sets and Sublinear Pairing-Based Non-Interactive Zero-Knowledge Arguments》的hadamard product argument的基础上，在CRS集合上做了优化，基本的算法思路仍然保持不变：
在这里插入图片描述

4. Shift and Rotation argument

在这里插入图片描述
可借助2010年论文《Short Pairing-Based Non-interactive Zero-Knowledge Arguments》中的permutation argument来证明，因为其中的permutation $\rho$ 为public known，只需要验证相应的 $\rho$ 即可。

5. range argument

在这里插入图片描述

6. scan argument

在这里插入图片描述
scan argument（可由shift argument构建），用于证明one vector is the scan (or sum-of-all-prefixes) of another vector。

7. SET-PARTITION argument

SET-PARTITION argument，用于证明the prover knows a partition of the given set of integers to two sets that have the same sum。（可由2个product argument和1个shift argument组成。）
在这里插入图片描述

8. SUBSET-SUM argument

SUBSET-SUM argument，用于证明the prover knows a non-zero subset of the given set of integers that sums to 0。
在这里插入图片描述

相比于2010年论文《Short Pairing-Based Non-interactive Zero-Knowledge Arguments》和2012年论文《Progression-Free Sets and Sublinear Pairing-Based Non-Interactive Zero-Knowledge Arguments》的CIRCUIT-SAT argument（需要 $\geq 7$ 个product和permutation argument），SUBSET-SUM argument更简单且仅需要product argument和a more efficient right shift-by-1 argument (zero argument is trivial).