1. 柯西-施瓦茨不等式
假设
且
不为0,那么
当且仅当
时
该不等式称为柯西-施瓦茨不等式,Cauchy Schwarz Inequality,其表示的是向量的点积与向量的长度之间的关系。
2. 不等式证明
假设
因为向量的长度大于等于0,所以
根据向量点积的交换率、分配率和结合律
下面做一个替换,目的是简化已展开的不等式,假设
那么
对于任意的t,上面的不等式均成立,假设
那么
因为a不仅非0,而且为正,因此
将a,b,c重新换成向量的积
不等式两边同时开平方
证明完毕
3. 不等式相等
假设
那么
证明完毕
4. 应用--证明三角形两边和大于第三边
应用柯西施瓦茨不等式:
不等式两边同时开平方:
因此,三角形的两边和大于第三边。
为什么要用柯西施瓦茨不等式来证明三角形两边和大于第三边,而不用初中学过的“大角对大边,小角对小边”?因为前者的证明过程可以扩展到n维空间,后者只适用于2维空间。线性代数的美就在于,其理论可以扩展到n维空间。