数论习题总结
A、洛谷 P1072 Hankson 的趣味题
题目描述
Hanks 博士是 BT(Bio-Tech,生物技术) 领域的知名专家,他的儿子名叫 Hankson。现在,刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。
今天在课堂上,老师讲解了如何求两个正整数c1 和 c2 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识,他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”,这个问题是这样的:已知正整数a0,a1,b0,b1,设某未知正整数x 满足:
1. x 和 a0 的最大公约数是 a1;
2. x 和 b0 的最小公倍数是b1。
Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后,他发现这样的x 并不唯一,甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x* 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。
输入格式
第一行为一个正整数n,表示有n 组输入数据。接下来的n* 行每行一组输入数据,为四个正整数 a0,a1,b0,b1,每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 a0 能被 a1 整除,b1 能被b0整除。
输出格式
共 n行。每组输入数据的输出结果占一行,为一个整数。
对于每组数据:若不存在这样的x,请输出 0;
若存在这样的x,请输出满足条件的x 的个数;
输入输出样例
输入 #1
2
41 1 96 288
95 1 37 1776
输出 #1
6
2
说明/提示
【说明】
第一组输入数据,xx可以是 9,18,36,72,144,288,共有6 个。
第二组输入数据,xx 可以是48,1776,共有 2 个。
【数据范围】
对于 50%的数据,保证有 1≤a0,a1,b0,b1≤10000 且n≤100。
对于 100%的数据,保证有 1≤a0,a1,b0,b1≤2,000,000,000 且 n≤2000。
NOIP 2009 提高组 第二题
分析
题目的大意就是求同时满足
\(gcd(x,a_0)=a_1\)
\(lcm(x,b_0)=b_1\)
的元素\(x\)的个数
很显然,要想满足上面的条件,必须有
\(gcd(a_0/a_1,x/a_1)=1\) 并且 \(gcd(b_1/b_0,b_1/x)=1\)
同时我们还要顺便把\(b_1/i\)也判断一下,这样就可以降低时间复杂度,从1枚举到\(\sqrt{b_1}\)就可以了
总的时间复杂度为\(2000\times \sqrt{2000000000}=1e8\)
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int ll;
ll gcd(ll aa,ll bb){
if(bb==0) return aa;
return gcd(bb,aa%bb);
}
int main(){
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--){
int a0,a1,b1,b0;
scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
ll p=a0/a1,q=b1/b0,ans=0;
for(ll x=1;x*x<=b1;x++){
if(b1%x==0){
if(x%a1==0 && gcd(x/a1,p)==1 && gcd(q,b1/x)==1) ans++;
int y=b1/x;
if(x==y) continue;
if(y%a1==0 && gcd(y/a1,p)==1 && gcd(q,b1/y)==1) ans++;
}
}
printf("%lld\n",ans);
}
}
B、HDOJ 2824 The Euler function
题目描述
The Euler function phi is an important kind of function in number theory, (n) represents the amount of the numbers which are smaller than n and coprime to n, and this function has a lot of beautiful characteristics.
Here comes a very easy question: suppose you are given a, b, try to calculate (a)+ (a+1)+....+ (b)
输入格式
There are several test cases. Each line has two integers a, b (2<a<b<3000000).
输出格式
Output the result of (a)+ (a+1)+....+ (b)
样例
样例输入
3 100
样例输出
3042
分析
题意大概是:给两个数,求这两个数之间的数的欧拉函数值。
数据范围不大,直接线性筛求1~n的欧拉函数值,最后再枚举一遍相加就可以了
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=3000005;
int phi[maxn],prime[maxn],tot;
bool not_prime[maxn];
void getphi(){
int i,j,k;
phi[1]=1;
for(i=2;i<maxn;i++){
if(!not_prime[i]){
prime[++tot]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(j=1;j<=tot;j++){
k=i*prime[j];
if(k>=maxn) break;
not_prime[k]=1;
if(i%prime[j]==0){
phi[k]=prime[j]*phi[i];
break;
} else {
phi[k]=(prime[j]-1)*phi[i];
}
}
}
}
int main(){
getphi();
int aa,bb;
while(scanf("%d%d",&aa,&bb)!=EOF){
long long ans=0;
for(int i=aa;i<=bb;i++){
ans+=(long long)phi[i];
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}