全通滤波器
定义
幅频响应在任意频率
处为常数的稳定系统
在本文中我们仅考虑实系数滤波器
判据
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幅频响应在任意频率 均处为常数
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零点与极点以单位圆为镜像对称
关于这一判据做如下两点说明:
首先为什么零极点要共轭出现?
因为只有零极点共轭,全通滤波器的系数才是实数,接下来解释一下为什么零极点共轭时,该系统函数所对应的冲激响应系数是全实数
我们知道,从S域到Z域的变换就是在时域从连续到离散的抽样.所以如果S域中系统函数所对应的冲激响应的系数是全实数,那么离散后,系数不可能突然变为虚数,也一定是全实数的.
首先考虑全极点系统,为了便于讨论,我们可以将任意以系统函数拆分为一阶或二阶子系统的级联,通式如下
对于任意一阶系统
不难得出其冲激响应为 所以当且仅当 时,冲激响应为实数,此时极点为 ,满足共轭出现的条件对于二阶系统来说
其中n,m为任意数,即可为实数,也可以是虚数.然后将系统写为如下形式 ,对应的冲激响应就是 ,因为要求是实数响应,所以此时的x,y均要求也是实数.现在该二阶子系统所对应的极点就是 ,满足共轭条件综上,极点满足共轭出现的条件时,冲激响应为实数
为什么零极点关于单位圆镜像对称
这一点是全通滤波器系统函数所决定的,所以才可以作为全通滤波器的判据之一.
全通滤波器可以拆解为多个子系统的级联
若当 时为极点,不难得出 为系统零点.结合上文给出的极点共轭出现的条件:极点共轭,而每一个极点在单位圆外对应着一个零点,因此零点也是共轭出现的.
综上,对于全通来说,零极点共轭出现,而且关于圆周对称
应用
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将不稳定系统转换为稳定系统
反射极点,零极点抵消
若原滤波器的一对极点在单位圆外 ,由该极点构成的系统函数
看级联全通滤波器
抵消单位圆外的极点 -
相位均衡器
全通滤波器级联后不改变幅频响应,因此可以用于设计相位补偿函数,使得级联后的系统相位响应为线性相位