分配格充要条件的证明
一、格是模格的充要条件
格是模格的充要条件是对任意 ,若 且存在 使得
「证明:」 设 是一个模格
对任意 且 , ,
则
反之,设 是一个格,对 且 有
因为 ,则 ,所以
而(1)
又
可得(2)
由(1)和(2)得
同理有
因为 在 上封闭,由定理假设条件有 ,即 是模格
格 是模格的充要条件为不含与五角格同构的子格
「证明:」 设 含与五角格同构的子格
其中
得 与模格定义矛盾,故格 不是模格
若格 不是模格,则 中有适合 ,而 的元素 。令 ,则 是 中的元素,且 ,其中
同理 ,又
所以 ,与所给条件矛盾
二、模格是分配格的充要条件
模格 是模格的充要条件为不含与钻石格同构的子格
「证明:」 钻石格是一个模格,但
而
所以
故此五元格不是分配格
设 是一非分配模格,且 是此格中不满足分配律的任意三元素
令
则
由对称知
再证 是五个不相等元素。不妨设 ,则 ,矛盾
若 ,则 ,而 ,导致 ,矛盾
同理,若令 ,可导致 ,矛盾
设 ,有 ,矛盾,知 与 不可比,由对称性, 均两两不可比
三、格是分配格的充要条件
格 是模格的充要条件为不含与五角格或钻石格同构的子格
「证明:」 由一和二的证明易得
「推论:」 任何一个小于五个元的格都是分配格
「另证:」 形如五角格和钻石格的格都不是分配格
若格 是分配格,则必不含这样的子格
现考察一般格中任意元素 ,利用格定义,有以下情况
(1) 任意两个都存在偏序关系
(2) 中有两个不存在偏序关系,但都与第三个存在偏序关系
(3) 中有两个存在偏序关系,但都与第三个不存在偏序关系
(4) 中任意两个都不存在偏序关系
「I:」
「II:」
若格中不含这样的子格,则只能是(1)、(2)和(4).I
而这几种情况的格均为分配格
一个格 是模格的充要条件为对任意 有
「证明:」 先证必要性,若 为一个分配格
因为 , ,有 ,而 ,所以
再证充分性
而
所以
得到
由对偶原理
因此,格 为分配格
「参考文献」
[1]张敏先.关于模格、分配格充要条件的严格推证[J].重庆邮电学院学报,1993(01):22-26.
[2]许华康.分配格充要条件的一个直接证明[J].数学的实践与认识,1988(03):77-79.