算法常见复杂度分析

算法(algorithm) 是指用来操作数据和解决问题的一组方法。对于同一个问题，使用不同的算法，结果一眼但是过程种消耗的资源与时间是不同的，衡量一个算法的优劣常常从时间和空间两个维度思考。分析方法是大O复杂度分析法。

一、大O时间复杂度分析法
1> 概念：并不表示代码真正执行花费的时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，也叫渐进时间复杂度，简称时间复杂度(其中低阶、常量、系数并不左右增长趋势，只需要记录一个最大量级)

A: 只关注循环执行次数最多的一段代码
B: 加法法则，总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
C: 乘法法则，嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度乘积

2> 几种常见时间复杂度实例

以上的复杂度量级，可以分为两类：多项式量级和非多项式量级，其中非多项式量级的只有 O(2^n)和O(n!).当数据规模 n 越来越大时候，非多项式量级算法的执行时间增长很快，所以效率比较低。以下是几种常见的多项式时间复杂度。

1.、O(1)
只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。

2.、O(logn)、O(nlogn)

    i=1;
    while (i <= n) {
        i = i * 2;
    }

变量 i 就是一个等比数列。把它一个个列出来：2^0， 2^1， 2^2， 2^3， 2^x = N所以只需要知道 x 的值就能知道代码的执行次数。 x = log2(N)

如果把上面的代码改成：

 i=1;
 while (i <= n) {
    i = i * 3;
 }

也能看出来把这段代码的时间复杂度为 O(log3(N)),实际上不论是 2 为底还是以 3 为底，还是以 10 为底，我们都可以把所有对数阶的时间复杂度记为 O(logN) 为什么呢？

因为对数之间是可以互相转换的，log3n 就等于 log(3)2 * log(2)n，所以 O(log3n) = O(C * log2n)，其中 C=log 2 是一个常量。而采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，所以在对数的时间复杂度表示方法里，可以忽略对数的底，统一表示为O(logn).

另外如果把以上代码修改为：

for (int j = 1; j < n; j++ ) {
	 i=1;
	 while (i <= n) {
	    i = i * 3;
	 }
 }

将时间复杂度为 O(logn) 的代码循环 n 遍的话，时间复杂度就是 O(nlogn)

3.、O(m+n) 和 O(m*n)
此时代码的复杂度由两个数据的规模决定，事先无法评估 m 和 n谁的量级大，所以没办法省略哪一个。

二、大O空间复杂度分析
空间复杂度全称就是渐进空间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。

int i = 0;
int[] a = new int[n];
for (i; i <n; ++i) {
a[i] = i * i;
}

第 1 行申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，可以忽略。第 2行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)

== 我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n )，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复
杂度平时都用不到==

小结：
1> 常见的复杂度，从低阶到高阶：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n^2)。
在这里插入图片描述