前言

近日淘到一本不可多得的好书，开篇便是扎实数学功底。所以本篇就来推导一些算法抉择必备的数学功底，不然哪套算法好，好在哪里，也说不出个所以然来，空口无凭，公式说话！

1、指数

$X^AX^B = X^{A+B}$
$X^A/X^B = X^{A-B}$
$(X^A)^B = X^{AB}$
$X^N+X^N = 2X^N \neq X^{2N}$
$2^N+2^N = 2^{N+1}$

2、对数

在计算机科学中，除非有特殊申明，不然所有对数都是以2为底的，心照不宣。
$定理1： X^A = B,当且仅当\log_{X}B = A$
$定理2： \log_{A}B = \log_{C}B/\log_{C}A;(C>0)$ $证明： 令X= \log_{C}B,Y = \log_{C}A,Z = \log_{A}B 。 \therefore B = C^X,A = C^Y,以及A^Z = B \therefore (C^Y)^Z = C^X = B。 \therefore X= YZ, \therefore Z = X/Y$
$定理3： logAB = logA+logB$ $证明： 令X = logA,Y = logB,Z = log{AB}。此时由于默认底为2,2^X = A,2^Y = B,以及2^Z = AB。 \therefore X+Y=Z，这就证明了该定理。$
$还有一些有用的公式如下，它们都可以用类似的方法推导：$ $log(A/B) = logA - logB$ $log(A^B) = BlogA$ $logX<X(X>0)$ $log1 = 0,log2 = 1,log1024 = 10$

3、级数

最容易记忆的公式是：
$\sum_{i = 0}^{N}2^i = 2^{N+1}-1$ $\sum_{i = 0}^{N}A^i = (A^{N+1}-1)/A-1$
在第二个公式中，如果0<A<1,则
$\sum_{i = 0}^{N}A^i \leqslant 1/(1-A)$

推导公式2：
令S表示和，此时：
$S = 1+A+A^2++A^3+……$
于是：
$AS = A+A^2+A^3+A^4+……$
两式相减，得：
$S-AS = 1$ $\therefore S = 1/(1-A)$

公式1是公式2的特化。

高斯公式：
$\sum_{i = 0}^{N}i = N(N+1)/2 \approx N^2/2$

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