正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3195

题目大意

$n$个物品，分成若干段，每一段的长度为 $j-i+\sum_{i=l}^rC_k$，打包价格为 $(长度-L)^2$

求最小价格和。

解题思路

$s_i=\sum_{j=1}^iC_j$
设 $f_i$表示 $i$前面的都打包完了，有
$f_i=f_j+(s_i-s_j+i-j-1-L)^2$
$f_i=f_j+(s_i+i-s_j-j-1-L)^2$
然后 $dp$可以做到 $O(n^2)$，因为有平方，考虑斜率优化
定义 $a_i=s_i+i,b_i=s_j+j+1+L$
有
$f_i=f_{j}+(a_i-b_j)^2$
$f_i=f_j+a_i^2-2a_ib_j+b_j^2$
$2a_ib_j+f_i-a_i^2=f_j+b_j^2$

对于每一个 $j$表示一个点 $(b_j,f_j+b_j^2)$（后文中称之为决策点）

考虑如何使 $f_i$最小，因为 $a_{i}^2$是定值即让 $f_{i}-a_{i}^2$最小，那么问题就变为了一条 $y=2a_ix+k$的直线，要求经过某个决策点使得 $k$最小。

那么显然，可能的点一定是一个下凸壳(相邻的点斜率单调上升)，而因为 $2a_i$这个斜率也是单调上升的，我们可以知道答案就是第一个决策点满足与下一个决策点的斜率 $\geq 2a_i$。

那么我们维护一个单调队列即可。

时间复杂度 $O(n)$

$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define pow2(x) ((x)*(x))
using namespace std;
const int N=5e4+10;
struct node{
	double x,y;
	int num;
}q[N];
int n,head,tail,L;
double s[N],a[N],b[N],f[N];
double slope(node x,node y)
{return ((y.y-x.y)/(y.x-x.x));}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&L);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lf",&s[i]);
		s[i]+=s[i-1];
		a[i]=s[i]+i;b[i]=s[i]+i+L+1;
	}
	b[0]=L+1;
	head=tail=1;q[1]=(node){b[0],b[0]*b[0],0};
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(head<tail&&slope(q[head],q[head+1])<2*a[i])head++;
		int p=q[head].num;f[i]=f[p]+pow2(a[i]-b[p]);
		node w=(node){b[i],f[i]+b[i]*b[i],i};
		while(head<tail&&slope(w,q[tail-1])<slope(q[tail-1],q[tail]))
			tail--;
		q[++tail]=w;
	}
	printf("%.0lf",f[n]);
}