正题

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题目大意

给出 $n,m,a,b,c,x_0$
$x_i=ax_{i-1}^2+bx_{i-1}+c$

求 $x_n\%m$

解题思路

第一段 $n\leq 1e6$直接 $O(n)$暴力做
第二段 $m\leq 1e6$找到一个循环节然后在套到n里
第三段:
$x_i=ax_{i-1}^2+bx_{i-1}+c$
学过二次函数的对于给出的性质有敏锐的直觉
$x_i=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$
$4ac=b^2-2b\Rightarrow 4ac-b^2=2b$
$x_i=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b}{2a}$
然后定义 $k=\frac{b}{2a}$
$x_i+k=a(x+k)^2$
同时乘上 $a$
$a(x_i+k)=(a(x+k))^2$
定义 $y_i=a(x_i+k)$
那么有 $y_i=y_{i-1}^2$
即 $y_n=y_{0}^{2^n}$

用费马小可以让指数摸上 $m-1$计算出 $y_n$，然后倒推出 $x_n$

$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll M=1e6+10;
ll n,m,a,b,c,x,fa[M],cir[M],v[M];
void solve1(){
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		x=(a*x%m*x%m+b*x%m+c)%m;
	printf("%lld",x);
}
void solve2(){
	x%=m;
	for(ll i=0;i<=m;i++)
		fa[i]=(a*i%m*i%m+b*i%m+c)%m;
	ll cnt=0;cir[0]=x;v[x]=1;
	while(!v[x=fa[x]])
		cir[++cnt]=x,v[x]=cnt;
	x=v[x];
	if(n<=cnt) printf("%lld",cir[n]);
	else{n-=x;printf("%lld",cir[x+n%(cnt-x+1)]);}
}
ll power(ll x,ll b,ll p){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1) ans=ans*x%p;
		x=x*x%p;b>>=1;
	}
	return ans;
}
void solve3(){
	ll z=b/2/a,y=a*(x+z)%m;
	y=power(y,power(2,n,m-1),m);
	printf("%lld",(y*power(a,m-2,m)%m-z+m)%m);
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&a,&b,&c,&n,&m);
	x=x%m;a%=m;b%=m;c%=m;
	if(n<=1e6)solve1();
	else if(m<=1e6)solve2();
	else solve3();
}