数据结构-图
概念
图(Graph):表示多对多的关系,将线性表和树包含在内
包含:
- 一组顶点V(vertex)
- 一组边,通常用E(edge)表示
- 边是一组定点对:
- 有向边<v,w>表示从v指向w的边
- 不考虑重边和自回路
抽象数据类型定义
- 类型名称:图
- 数据对象集:非空的有限顶点集和一个有限边集合E组成
- 操作集:建立、插入、深度优先遍历、最小生成树……
常见术语
-
有向图
-
无向图
-
权重
-
带权重的图是网络
-
……
怎么在程序中表示一个图
利用邻接矩阵表示:G [N] [N]——N个顶点0到N-1编号
-
如果<vi,vj>是G中的边,G [i] [j] = 1,否则为0
-
在无向图的存储,怎么省空间?
- 利用一维数组的存储A = {G00,G10,.....,Gn-1 n-1}
- Gij在A中对应的下标为(i*(i+2)/2+j)
-
方便计算图的度(和这个顶点有关的边的个数,有向图有入度和出度)
- 无向图的度:对应行或列非0的个数
- 有向图:对应行非0的元素个数是“出度”,对应非0元素的个数是“入度”
邻接矩阵 ——有什么不好:但图很稀疏(点多边少)很浪费空间,存完全图是很好的(任意两个点都有边)
利用邻接表表示:为每一个节点开一个指针,对应矩阵每行一个链表,只存非0元素,每个顶点编号链接和它有边的节点,顺序无所谓
图的遍历
- DFS
- BFS
DFS
//类似于树的先序遍历
void DFS(vERTEX v)
{
visited[V] = true;
for (V中的每个邻接点W)//站在节点位置看其他的节点
if(!visited[W])//如果节点没有被访问过
DFS(W); //返回上一层
}
BFS
广度优先搜索:类似于层序遍历
void BFS ( Vertex V )
{ visited[V] = true;
Addqueue(V, Q);
while(!IsEmpty(Q)){
V = Dequeue(Q);
for ( V 的每个邻接点 W )
if ( !visited[W] ) {
visited[W] = true;
Addqueue(W, Q);
}
}
}
广度优先是按照一定的规则进行查找
BFS是一圈一圈的按照层次在查找
图不连通怎么办
前面的遍历图中的节点都是联通的,图不连通的时候,那应该怎么办?
我们考虑部分连通的子图,也就是连通分量:无向图的极大连通子图
-
极大定点数:再加一个顶点就不连通了
-
极大边数:包含子图中所有顶点相连的所有边。
-
强连通:有向图中顶点 V 和 W之间存在双向路 径,则称 V 和 W是强连通的
-
强连通图:有向图中任意两顶点均强连通
-
强连通分量:有向图的极大强连通子图
将所有的分量都列出来,对每一个顶点的V,如果还没有访问过,就去调用BFS或DFS
例子
007
- 注意,节点是一个很抽象的概念,边框也是节点
- 边是007行走的路径
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
struct node
{
int x,y;
}p[110];
int vis[110];
int flag = 0;
int n,m;
int keyi(int x)//如果可以成功到达岸边
{
if((p[x].x - m<=-50)||(p[x].x + m>=50)||(p[x].y - m<=-50)||(p[x].y + m >=50))
return 1;
return 0;
}
int first(int x)//第一步
{
int p1 = pow(p[x].x,2);
int p2 = pow(p[x].y,2);
int r = (m+7.5)*(m+7.5);
if(p1+p2<=r)
return 1;
return 0;
}
int jump(int x,int y)//能否从一个鳄鱼头跳到另一个鳄鱼头
{
int p1 = pow(p[x].x - p[y].x,2);
int p2 = pow(p[x].y - p[y].y,2);
int r = m*m;
if(p1+p2<=r)
return 1;
return 0;
}
int dfs(int t)
{
vis[t] = 1;
if(keyi(t) == 1)
{
flag = 1;
}
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(!vis[i]&&jump(t,i))
{
flag = dfs(i);
// if(flag == 1)
// break;
}
}
return flag;
}
int main()
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
scanf("%d %d",&n,&m);
int i;
for(i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d %d",&p[i].x,&p[i].y);
}
if(m>=42.5)
{
printf("Yes\n");
}
else
{
for(i=0;i<n;i++)
{
if(!vis[i]&&first(i))
{
dfs(i);
}
}
if(flag == 1)
printf("Yes\n");
else
printf("No\n");
}
return 0;
}
六度空间
对每个结点,进行BFS
搜索过程中累计访问的节点数
需要记录“层”数,仅计算6层以内的节点数
void SDS()
{
for ( each V in G ) {
count = BFS(V);
Output(count/N);
}
}
int BFS ( Vertex V )
visited[V] = true; count = 1;
level = 0; last = V;
Enqueue(V, Q);
while(!IsEmpty(Q)){
V = Dequeue(Q);
for ( V 的每个邻接点 W )
if ( !visited[W] ) {
visited[W] = true;
Enqueue(W, Q); count++;
tail = W;
}
if ( V == last ) {
level++; last = tail;
}
if ( level == 6 ) break;
}
return count;
}