4.6 高斯约当消元法
高斯消元法把矩阵变换为上三角阵,上三角阵还可以继续变换为对角阵。例如上面增广矩阵
[
A
,
b
]
[A, b]
[ A , b ] 变换为上三角阵
[
2
4
−
2
2
0
1
1
4
0
0
4
8
]
\left[ \begin{matrix} 2 & 4 & -2 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 4 & 8 \end{matrix} \right]
⎣ ⎡ 2 0 0 4 1 0 − 2 1 4 2 4 8 ⎦ ⎤
先从最后一列倒数第二行开始,最后一行乘以
−
1
/
4
-1/4
− 1 / 4 加到倒数第二行,则变换为
[
2
4
−
2
2
0
1
0
2
0
0
4
8
]
\left[ \begin{matrix} 2 & 4 & -2 & 2\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 4 & 8 \end{matrix} \right]
⎣ ⎡ 2 0 0 4 1 0 − 2 0 4 2 2 8 ⎦ ⎤
最后一行乘以
2
/
4
2/4
2 / 4 加到倒数第一行,则变换为
[
2
4
0
6
0
1
0
2
0
0
4
8
]
\left[ \begin{matrix} 2 & 4 & 0 & 6\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 4 & 8 \end{matrix} \right]
⎣ ⎡ 2 0 0 4 1 0 0 0 4 6 2 8 ⎦ ⎤
方程
2
2
2 乘以
−
4
-4
− 4 加到方程
1
1
1 ,则变换为
[
2
0
0
−
2
0
1
0
2
0
0
4
8
]
\left[ \begin{matrix} 2 & 0 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 4 & 8 \end{matrix} \right]
⎣ ⎡ 2 0 0 0 1 0 0 0 4 − 2 2 8 ⎦ ⎤
最后变成单位矩阵,为
[
1
0
0
−
1
0
1
0
2
0
0
1
2
]
\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} \right]
⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 − 1 2 2 ⎦ ⎤
最后一列就是方程解。
高斯约当消元法提供了一种手算逆矩阵的方法。求逆矩阵可以看作是解
n
n
n 个方程,即
A
b
i
=
e
i
A\mathbf{b_i}=\mathbf{e_i}
A b i = e i ,高斯约当消元法把矩阵
A
A
A 变换为单位阵
E
E
E ,则增广矩阵最后一列就是解,也就是逆矩阵
A
−
1
A^{-1}
A − 1 的第
i
i
i 列向量。如果同时并行解
n
n
n 个方程
A
b
i
=
e
i
,
i
∈
[
1
,
n
]
A\mathbf{b_i}=\mathbf{e_i}, i \in [ 1,n]
A b i = e i , i ∈ [ 1 , n ] ,则可并行求得逆矩阵
A
−
1
A^{-1}
A − 1 所有列向量。增广矩阵
[
A
,
E
]
[A, E]
[ A , E ] 进行高斯约当消元法,把矩阵
A
A
A 变换为单位阵,则单位阵变换为
A
−
1
A^{-1}
A − 1 ,即
[
E
,
A
−
1
]
[ E, A^{-1}]
[ E , A − 1 ] 。
上面是不存在行对调操作的情况,如果需要行对调,则对
[
P
A
,
E
]
[PA, E]
[ P A , E ] 进行高斯约当消元法求逆,得到
[
E
,
B
]
,
B
=
(
P
A
)
−
1
[E, B], B = (PA)^{-1}
[ E , B ] , B = ( P A ) − 1 ,则
A
−
1
=
B
P
A^{-1}=BP
A − 1 = B P 。