题目链接
http://codeforces.com/problemset/problem/1323/B
题目描述
给出两个长度分别为 n, m 的数组 A,B,数组内的元素为 0 或 1。根据 A,B 构造矩阵 C,使 C 满足
。显然,C中的元素也均为 0 或 1。
问,C 中有多少个子矩阵满足下述两个条件:
- 子矩阵一共包含 k 个元素。
- 子矩阵中的所有元素均为 1。
数据范围
示例
n = 3 m = 3 k = 2
A = [1 0 1]
B = [1 1 1]
答案为 4。
矩阵 C 如下图:
四个满足要求的子矩阵,如下图:
解题思路
- 满足要求的子矩阵的行数和列数肯定都能整除 k。k 的除数肯定不会超过 个。
- 如果 A[i] = 0,矩阵 C 的第 i 行全为 0 。如果 A[i] = 1,矩阵 C 的第 i 行肯定就是 B 。
想明白上述问题之后,先来看下最朴素的解法:
- 枚举矩阵C的所有元素,将其作为子矩阵的右下角元素。该步骤时间复杂度为 O(n*m)。
- 位置锚定后,枚举子矩阵的长和宽。该步骤的时间复杂度为 O(k)。
- 判断子矩阵中的元素是否全为 1 。因为子矩阵面积为 k,所以该步骤时间复杂度亦为 O(k)。
上述算法的整体复杂度为 O(n*m*k*k)。
优化
先从最简单的第二步开始,如果预处理 k 的除数,该步骤的时间复杂度可以降到
。因为 k 的除数不会超过
个。
此时,算法整体复杂度降到了
。
接下来观察一下矩阵 C,发现 C 的行很重复 —— 总是为 B 或者全为 0。那么应该可以用乘法代替步骤1,3的加法:
预处理 B 中满足下述要求的子区间的数量:
- 子区间的元素全为 1。
- 子区间的长度可以整除 k。
记 cb[i] 为满足上述要求的长度为 i 的区间的数量。这个步骤的时间复杂度可以做到 。
设结果为 res。
枚举数组 A 的位置 pos,并记录满足以 pos 为右端点,且元素全为 1 的子区间的最大长度,记为 len。那么有:
累加 cb[i] 的意义可以理解为:以矩阵 C 的第 pos 行中的某个元素为锚点的且列数为 cb[i] 的子矩阵的个数的累加和。
整体的时间复杂度可以做到
。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
map<int, int> dc;
const int MAXN = 40001;
int a[MAXN], b[MAXN];
int main() {
cin.sync_with_stdio(false);
int n, m, k;
cin >> n >> m >> k;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
}
for(int i = 1; i <= m; i++) {
cin >> b[i];
}
for(int i = max(n,m); i >= 1; i--) {
if(k%i == 0) {
dc.insert(make_pair(k/i, 0));
}
}
for(int i = 1, c = 0; i <= m; i++) {
if(b[i] == 1) {
++c;
for(auto it = dc.begin(); it != dc.end() && it->first <= c; it++) {
it->second++;
}
} else {
c = 0;
}
}
int64_t res = 0;
for(int i = 1, c = 0; i <= n; i++) {
if(a[i] == 1) {
++c;
for(auto it = dc.cbegin(); it != dc.cend(); it++) {
if(k/it->first <= c) {
res += it->second;
}
}
} else {
c = 0;
}
}
cout << res << endl;
return 0;
}
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