P1663 山(二分&数学)

思路：二分 $+$数学.

题意转化为：求在所有直线上方的点的最小 $y$值。

考虑二分 $y$，判断 $x$是否成立即可。

令任意一条直线 $y=kx+b$。

1.若 $k>0\rightarrow x\le\dfrac{y-b}{k}$

2.若 $k<0\rightarrow x\ge\dfrac{y-b}{k}$

3.若 $k=0\rightarrow y\ge b$

即判断是否存在一个区间 $x\in[L,R]$成立即可。

时间复杂度： $O(nlogm)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e3+5,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
struct p{
	double x,y;
}a[N];
struct line{
	double k,b;
}L[N];
const double eps=1e-3;
int n;
bool check(double y){
	double l=-2e9,r=2e9;
	for(int i=1;i<n;i++){
		if(L[i].k>0) r=min(r,(y-L[i].b)/L[i].k);
		else if(L[i].k<0) l=max(l,(y-L[i].b)/L[i].k);
		else if(L[i].b>y) return 0;
	}
	return r-l>=0;
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y);
	for(int i=1;i<n;i++){
		L[i].k=(a[i+1].y-a[i].y)/(a[i+1].x-a[i].x);
		L[i].b=a[i].y-L[i].k*a[i].x;
	}
	double l=0,r=1e6,ans;
	while(r-l>=eps){
		double mid=(l+r)/2.0;
		if(check(mid)) ans=r=mid;
		else l=mid;
	}
	printf("%.2lf\n",ans);
	return 0;
}