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什么叫函数在闭区间上连续?
用图像表示
定理1:最值定理
若f(x)∈c[a,b],则在[a,b]上一定能够取到最小值m和最大值M,即存在x1,x2属于[a,b]使得f(x1)=m,f(x2)=M
注解: 函数在闭区间上连续
是能取到最小值和最大值
的充分不必要条件,如图
定理2:有界定理
若f(x)∈c[a,b],则存在k,对任意的x∈[a,b]有|f(x)|≤k,即函数在闭区间上连续,则函数在闭区间上有界
注解: 由定理1我们知道,函数在闭区间上连续,则函数在闭区间上可以取到最小值和最大值,即函数有上下界,则函数在闭区间内有界
定理3:零点定理
零点:f(x)在x=a处的值为0,则x=a称为f(x)的零点
若f(x)∈c[a,b],且f(a)×f(b)<0,则存在f(x0)=0(至少有一个)
定理4:介值定理
啥叫介值呢?画个图
f(x)∈c[a,b],在[a,b]上有最小值m和最大值M
用英文解释一下:The value between m and M 翻译过来,介于闭区间上最小值和最大值的值都叫介值
介值定理的内容:任取t∈[m,M],至少有一个t0使得f(t0)=t,则t0∈[a,b],即介于m和M之间的值,f(x)都能取到
小结
①f(x)∈c[a,b],存在t∈(a,b)…命题为闭区间,证明开区间,首选零点定理
②f(x)∈c[a,b],出现条件有函数值之和,或t∈[a,b],首选介值定理
例题
例1
例2
总结
本篇内容为f(x)在闭区间上连续的四个定理,当命题中有证明开区间上点的时候,首选零点定理,当命题中证明闭区间上的点或出现函数值之和时,首选介值定理,使用介值定理的惯例——先取出最小值和最大值
截止到本篇,高等数学第一章《函数、极限、连续》的内容已经基本完结,为什么说基本完结呢?因为第一章的内容相对基础(虽然基础但绝对重要),在后续的学习中可能会不断补充相关的新的知识。
接下来我们进入第二章——《导数与微分》