高数小贴士—数列极限
本篇开始进入极限的研究。在序章中说过，微积分的主要研究对象是函数的变化规律，本节我们从易到难，先来研究一种特殊函数的极限—数列极限
数列定义
数列是以正整数集为定义域的函数，是一列有序的数，每一个数都是这个数列的一项，整个数列可以使用一个通项表示。
数列极限的定义
设{an}为数列，A为常数，如果对任意的ε>0，存在N>0，当n>N时，有|an-A|<ε，则称数列{an}的以A为极限
定义解释和补充
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ε代表误差，
具有任意性，也就是可以任意取值（误差过大允许但是没有意义） -
为了便于理解，可以将N理解为一个界限，n>N即为从界限往右，an所有项的值与极限值的误差都小于设定的误差
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对于一个数列{an},
任取一个误差值ε，总能找到一个界限N，从N往右，能够使|an-A|<ε成立
例题
例1
对于任意的ε存在N,当n>N时，数列项an与常数只差小于ε，得证。
例2
数列极限的性质
- 唯一性，数列有极限必唯一
利用反证法证明
- 有界性，如果一个数列有极限，则一定有界，反之不成立。极限存在一定有界，有界未必有极限（数列可以两个常数之间震荡）
数列有界则未必有极限，举例an=(-1)n,数列为-1,1,-1,1……|an|<=2,但是极限不存在。
- 保号性，因为0既不是整数也不是负数，不把0放在保号性的研究范围内。如果数列an的极限为A，A>0或A<0，则存在N，当n>N时，an与A同号。
总结
- 数列是一种特殊的函数，定义域为正整数集。
- 数列的极限只有一种变化趋势，n—>∞。
- 使用定义证明数列有极限，找出通项与极限的误差，找到N即可
- 数列极限的三个性质——唯一性、有界性、保号性
下一节进入函数极限的内容。