正题

~~比赛的时候不懂一个组合数的公式暴毙。~~我太菜了

实际上你可以发现，第一行的公差是1，第二行的公差是a+b，第i行的公差是 $(a+b)^{i-1}$ ，这是为什么呢？

可以发现从每一行的公差是上一行的(a+b)倍，因为相邻两项之间被*a贡献之间公差为上一层的公差，被*b贡献之间公差为上一层的公差，c可以抵消掉，所以公差就是(a+b)倍。

那么就可以得到递推公式 $f(i)=(a+b)f(i-1)+b*(a+b)^{i-2}+c$ 。

这个东西就可以直接用矩阵快速幂做，主要就是维护一个5*5的矩阵（也许您不用？

但是，我要将我在比赛的方法推广！

首先可以看作是把每行拆开，除了第一行之外全部都是c，c的贡献是很好算的，向下走一步*a向左下走一步乘b。

那么就有： $\sum_{i=0}^{n-2}c\sum_{j=0}^i C_i^ja^jb^{i-j}=c\sum_{i=0}^{n-2}(a+b)^i$

再来康康第一行怎么往下走： $\sum_{i=0}^{n-1}(i+1)C_{n-1}^ia^{n-1-i}b^i$

啊这个东西就是我不会化简的： $=(a+b)^{n-1}+b\sum_{i=0}^{n-2}(n-1)C_{n-2}^ia^{n-2-i}b^i$

惊不惊喜，意不意外。

实际上这里用到了一个我昨晚发现的公式： $nC_{n-1}^{i-1}=iC_n^i$

具体证明很简单，可以暴力展开，也可以讨论一下选球，笔者不多赘述。

然后就是把i-1换成i，合并一下发现就是： $(a+b)^{n-2}(bn+a)$ ，跟题解里面不知道怎么麻烦推出来的式子一模一样。

后面就没什么好说的了，跟题解一样，c的贡献可以直接二分递归+龟速乘+快速幂。（没有代码，数学题

「EZEC-1」数列，组合数推导