Ⅰ 前言

在我之前的一篇文章里，我详细讲了二分查找，在文中我提到，二分查找底层依赖的是数组随机访问的特性，所以只能用数组来实现。如果数据存储在链表中，就真的没办法用二分查找算法了吗？

【数据结构与算法】-＞算法-＞二分查找

实际上，我们只需要对链表做一个小改造，就可以支持类似“二分”的查找算法。我们把改造之后的数据结构叫做跳表（Skip list），这篇文章就来说说这个数据结构。

跳表可能对你比较陌生，因为一般的数据结构和算法书里都不怎么会讲，但是它确实是一种各方面性能都比较优秀的动态数据结构，可以支持快速地插入、删除、查找操作，写起来也不复杂，甚至可以替代红黑树。

Redis 中的有序集合（Sorted Set）就是用跳表来实现的。如果你对红黑树有了解的话，就知道红黑树也可以实现快速地插入、删除和查找操作，但是 Redis 依然选择用跳表而不是红黑树来实现有序集合，就是和跳表一个重要的特性有关，在下面的讲解中，相信你就会明白了。

Ⅱ 如何理解跳表

对于一个单链表来说，即便链表中存储的数据是有序的，如果我们要想查找某个数据，也只能从头到尾遍历链表，这样查找的效率就会很低，时间复杂度为 O(n)。

（假设链表存储的数据是有序的）

这时候我们对这个链表建立一级“索引”，查找起来就会更快一点。具体做法是：每两个结点提取一个结点到上一级，我们把抽出来的那一级叫做索引或索引层。

图中的 down 表示 down 指针，指向下一级结点。

如果我们现在要查找某个结点，比如 13。我们可以先在索引层遍历，当遍历到索引层中值为 10 的结点时，我们发现下一个结点是 14，那要查找的 13 肯定就在这两个结点之间。然后我们通过索引层结点的 down 指针，下降到原始链表这一层，继续遍历。这个时候，我们只需要再遍历 2 个结点，就可以找到值等于 13 的这个结点了。这样，原来要查找 13，需要遍历 8 个结点，现在只需要遍历 6 个结点。

从这个例子里，我们可以知道，加了一层索引之后，查找一个结点需要遍历的结点个数减少了，也就是说查找效率提高了。 那如果我们再加一级索引呢？是不是效率就提高更多了？

和第一级索引类似，每两个结点就抽出一个结点到第二级索引。

现在再查找 17，通过二级索引，只需要遍历 6 次，而原始的需要遍历 10 次。

我举的例子数据量很小，所以这个效率提升的感觉不明显，我借用王争老师的图，展示一下一个包含 64 个结点的五级索引。

原来没有索引的时候，查找 62，需要遍历 62 个结点，现在只需要遍历 11 个结点，速度提高了非常多。所以，当链表的长度 n 比较大时，比如 1000、10000 的时候，在构建索引之后，查找效率的提升就会非常明显。

其实想想二分法就可以想到，这就相当于一个二分查找嘛，自然地数据量大的时候效率会非常高。

上面所描述的这种链表加多级索引的结构，就是跳表。 下面我们定量分析一下，跳表到底有多快。

Ⅲ 用跳表查询到底有多快

我们知道，在一个单链表中查询某个数据的时间复杂度为 O(n)。根据这个，我们来具体分析跳表查询某个数据的时间复杂度。

先来思考一个问题，如果链表里有 n 个结点，那会有多少级索引？

按照前面我们分析的，每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，那第一级索引的结点个数大约就是 n / 2，第二级索引结点个数大约是 n / 4，以此类推，第 k 级索引的结点个数是第 k-1 级索引的结点个数的 1/2，那第 k 级索引结点的个数就是 n/2^k。

假设索引有 h 级，最高级的索引有 2 个结点。通过上面的公式，我们可以得到 n / 2^h = 2，从而求得 h = log₂n - 1。如果包含原始链表这一层，整个跳表的高度就是 log₂n。我们在跳表中查询某个数据的时候，如果每一层都要遍历 m 个结点，那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是 O(m * logn)。

那这个 m 的值是多少呢？按照前面的索引结构，我们每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点，也就是说 m = 3。

我再借用一下王争老师的这个图，大家可以想一想这个过程。

就比如我们要查找数据 x，在第 k 级索引中，我们遍历到 y 结点之后，发现 x 大于 y 结点，小于后面的 z 结点，肯定不可能是大于 z 结点的，因为如果 x 大于 z，那就直接在 第 k + 1 级索引继续往下走了。所以在第 k 级索引，最多遍历三个结点，就下降了。

到 k - 1级索引，y 和 z 之间只有三个结点（包含 y 和 z），所以在 k - 1 级索引中最多只需要遍历 3 个结点，依此类推，每一级索引都最多只需要遍历三个结点。

通过上面的分析，我们得到了 m = 3，所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是 O(logn)。这个查找的时间复杂度和二分查找是一样的。但是这种查询效率的提升也是有代价的，就是建立了很多级索引，占用了很多空间，这就是空间换时间的设计思路。

Ⅳ 跳表的内存损耗

我们现在来分析一下跳表的空间复杂度。

假设原始链表大小为 n ，那第一级索引大约有 n / 2 个结点，第二级索引大约有 n / 4 个结点，以此类推，每上升一级就减少一半，直到剩下 2 个结点。如果我们把每层索引的结点数写出来，就是一个等比数列。

n / 2，n / 4，n / 8，…，8，4，2

这几级索引的结点总和就是：n / 2 + n / 4 + n / 8 + … + 8 + 4 + 2 = n - 2。

所以，跳表的空间复杂度是 O(n)。也就是说，如果将包含 n 个结点的单链表构造成跳表，我们需要额外再用接近 n 个结点的存储空间。那如果我们每三个结点或者每五个节点，抽一个结点到上级索引，是不是就可以降低索引占用的内存空间了？

拿三个结点来说吧，几级索引的结点总和就是：n / 3 + n / 9 + n / 27 + … + 9 + 3 + 1 = n / 2

尽管空间复杂度还是 O(n)，但比上面的没两个结点抽一个结点的索引构建方法，要减少了一半的索引结点存储空间。

实际上，在软件开发中，我们不必太在意索引占用的额外空间。因为在实际的软件开发中，原始链表中存储的有可能是很大的对象，而索引结点只需要存储关键值和几个指针，并不需要存储对象，所以当对象比索引结点大很多时，那索引占用的额外空间就可以忽略了。

Ⅴ 高效的动态插入和删除

跳表的基本样子相信大家都已经清楚了，实际上，跳表这个动态数据结构，不仅支持查找操作，还支持动态的插入、删除操作，而且插入、删除操作的时间复杂度也是 O(logn)。

A. 插入

现在我们来看看跳表的插入数据是怎么操作的，并且是怎么做到时间复杂度为 O(logn)的。

我们知道，在单链表中，一旦定位好要插入的位置，插入结点的时间复杂度是很低的，就是 O(1)。但是，这里为了保证原始链表中数据的有序性，我们需要先找到要插入的位置，这个查找操作就会比较耗时。

对于纯粹的单链表，需要遍历每个结点，来找到插入的位置，但是，对于跳表来说，根据上面分析的查找某个数据的时间复杂度为 O(logn)，所以在这里查找某个数据应该插入的位置，方法也是类似的，时间复杂度也为 O(logn)。

B. 删除

如果这个结点在索引中也有出现，我们除了要删除原始链表中的结点，还要删除索引中的。因为单链表中的删除操作需要知道要删除结点的前驱结点，然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候，一定要获取前驱结点，当然，如果用的是双向链表，就不需要考虑这个问题了。

Ⅵ 跳表索引动态更新

当我们不停地往跳表中插入数据时，如果我们不更新索引，就有可能出现某 2 个结点之间数据非常多的情况。极端情况下，跳表还会退化成单链表。

作为一种动态数据结构，我们需要某种手段来维护索引与原始链表大小之间的平衡，也就是说，如果链表中结点多了，索引结点就相应地增加一些，避免复杂度退化，以及查找、插入、删除操作性能下降。

如果你了解红黑树、AVL 树这样的平衡二叉树，就会知道它们是通过左右旋的方式保持左右子树的大小平衡（这两个数据结构在我后面的文章中也会写到），而跳表是通过随机函数来维护前面提到的 “平衡性”。

当我们往跳表中插入数据的时候，我们可以选择同时将这个数据插入到部分索引层中，那么要如何选择加入哪些索引层呢？

我们通过一个随机函数，来决定这个结点插入到哪几级索引中，比如随机函数生成了值 K，那我们就将这个结点添加到第一级到第 K 级这 K 级索引中。

随机函数的选择很有讲究，从概率上来讲，能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性，不至于性能过度退化。

Ⅶ 为何 Redis 要用跳表？

现在就可以回答前言中的问题了，为什么 Redis 要用跳表来实现有序集合，而不是红黑树。

Redis 中的有序集合是通过跳表来实现的，严格来说，还用到了散列表，这个我们可以先忽略。如果你去看 Redis 的开发手册，就会发现，Redis 中有序集合支持的核心操作主要有下面几个：

• 插入一个数据
• 删除一个数据
• 查找一个数据
• 按照区间查找数据
• 迭代输出有序序列

其中，插入、删除、查找以及迭代输出有序序列这几个操作，红黑树也可以完成，时间复杂度和跳表是一样的。但是，按照区间查找数据这个操作，红黑树的效率没有跳表高。

对于按照区间查找数据这个操作，跳表可以做到 O(logn) 的时间复杂度定位区间的起点，然后在原始链表中顺序往后遍历就可以了，这样非常高效。

Redis 之所以用跳表来实现有序集合，还有其他原因，比如，跳表更容易代码实现。虽然跳表的实现也不简单，但比起红黑树来说还是好懂很多，好写很多。并且，跳表也更加灵活，可以通过改变索引构建策略，有效平衡执行效率和内存消耗。

不过跳表也不能完全替代红黑树，因为红黑树比跳表出现得要早一些，很多编程语言中的 Map 类型都是通过红黑树来实现的。我们做业务开发的时候，直接拿来用就可以了，不用自己去实现红黑树。但是跳表并没有一个现成的实现，所以在开发中，如果你想使用跳表，必须要自己实现。

Ⅷ 代码实现

跳表的实现是很复杂的，我在这里贴出王争老师的代码，供大家参考。

Java 跳表实现

C&C++ 跳表实现

Python 跳表实现