Description
给定一个数串,数串的长度为 n ,现在将一个子串的每个数字之和定义为该子串的数串和,请你求出数串中有多少个子串的数串和为正数。
Input
第一行一个数 n ,表示数串的长度。第二行一共 n 个数,表示数串中的每个数输出就一个数,表示数串中有多少个子串的数串和为正数。
Output
一个正数即答案。
Sample Input 1
3
8 -9 2
Sample Output 1
3
Hint
对于100%的数据: n ≤ 100000,所有数之和在int范围之内
Time Limit
1000MS
Memory Limit
256MB
分析:
题中所述数串和,其实就是区间和。时空复杂度最小的求区间和的方法就是求前缀和序列,前缀和中每一项sum[i]表示a1~ai的和。故 ai ~aj的和为sum[j]-sum[i-1],那么数串ai ~aj之和大于0等价于sum[j]-sum[i-1]>0。观察这个式子,既然 j>i,则必有 j>i-1,又sum[j]>sum[i-1],所以sum[j]和sum[i-1]是一对顺序对。
归并排序可以求逆序对,用来求顺序对也是换汤不换药,只要把排序规则换为降序,当左子序列头指针元素小于右子序列头指针元素时,就是出现顺序对的时候。另外,为了表示整个序列和时与其他数串和表示统一,要用sum[0]=0表示没有加序列任何一个元素,sum[n]-sum[0]即为整个序列的和。
那如果想通过求逆序对算这题可以吗?答案是可以。既然能求前缀和,为什么不能求后缀和呢?分析步骤同上,数串ai ~aj之和大于零等价于sum’[i]>sum’[j+1],即sum’[i]与sum’[j+1]为逆序对。为了便于理解,特画后缀和序列示意图:
对了,这题还有个坑,虽然所有输入数据都在int范围,序列所有元素的和也在int范围,但是答案(正数串和)的范围不一定在int范围,本人就因为没开long long int记录答案而导致WA。
参考代码:
#include<stdio.h>
int n;//序列长度
int a[100002]={
0};//原序列
long long int ans=0;//答案计数,开long long以防万一
int temp[100002]={
0};//归并排序的道具
//将原序列转化为后缀和序列
inline void change()
{
for(int i=n;i>0;i--)
{
a[i]+=a[i+1];
}
}
//对后缀和序列归并排序,顺便求逆序对数目
void merge_sort(int left,int right)
{
if(left==right) return;
int mid=left+((right-left)>>1);
merge_sort(left,mid);
merge_sort(mid+1,right);
for(int i=left;i<=right;i++)
temp[i]=a[i];
int i1=left,i2=mid+1;
for(int cur=left;cur<=right;cur++)
{
//排序规则为升序,谁小先选谁
if(i1>mid) a[cur]=temp[i2++];
else if(i2>right) a[cur]=temp[i1++];
else if(temp[i1]<=temp[i2])
a[cur]=temp[i1++];
else if(temp[i1]>temp[i2])//出现逆序对
a[cur]=temp[i2++],ans+=mid-i1+1;
}
return;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",a+i);
change();
//令sum[n+1]=0,sum[1]-sum[n+1]表示整个序列的和
//故虽然序列内容在1~n,区间却必须写1~n+1
merge_sort(1,n+1);
printf("%lld",ans);
return 0;
}