题目: 旅行商问题(TSP问题)。假设有一个旅行商人要拜访全国31个省会城市,他需要选择所要走的路径,路径的限制是每个城市只能拜访一次,而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择要求是:所选路径的路程为所有路径之中的最小值。全国31个省会城市的坐标为[1304 2312;3639 1315;4177 2244;3712 1399;3488 1535;3326 1556;3238 1229;4196 1044;4312 790;4386 570;3007 1970;2562 1756;2788 1491;2381 1676;1332 695;3715 1678;3918 2179;4061 2370;3780 2212;3676 2578;4029 2838;4263 2931;3429 1908;3507 2376;3394 2643;3439 3201;2935 3240;3140 3550;2545 2357;2778 2826;2370 2975]。
解答: 根据图可知优化最短距离为:15609.4771
Matlab代码:
%初始化
clear all; %清除所有变量
close all; %清图
clc; %清屏
m=50; %蚂蚁个数
Alpha=1; %信息素重要程度参数
Beta=5; %启发式因子重要程度参数
Rho=0.1; %信息素蒸发系数
G=200; %最大迭代次数
Q=100; %信息素增加强度系数
C=[1304 2312;3639 1315;4177 2244;3712 1399;3488 1535;3326 1556;...
3238 1229;4196 1044;4312 790;4386 570;3007 1970;2562 1756;...
2788 1491;2381 1676;1332 695;3715 1678;3918 2179;4061 2370;...
3780 2212;3676 2578;4029 2838;4263 2931;3429 1908;3507 2376;...
3394 2643;3439 3201;2935 3240;3140 3550;2545 2357;2778 2826;...
2370 2975]; %31个省会城市坐标
%第一步:变量初始化
n=size(C,1); %n表示问题的规模(城市个数)
D=zeros(n,n); %D表示两个城市距离间矩阵
for i=1:n
for j=1:n
if i~=j
D(i,j)=((C(i,1)-C(j,1))^2+(C(i,2)-C(j,2))^2)^0.5;
else
D(i,j)=eps;
end
D(j,i)=D(i,j);
end
end
Eta=1./D; %Eta为启发因子,这里设置为距离的倒数
Tau=ones(n,n); %信息素矩阵
Tabu=zeros(m,n); %存储并记录路径的生成
NC=1; %迭代计数器
R_best=zeros(G,n); %各代最佳路线
L_best=inf.*ones(G,1); %各代最佳路线的长度
figure(1); %优化解
while NC<=G
%第二步:将m只蚂蚁放到n个城市上
Randpos=[];
for i=1:(ceil(m/n))
Randpos=[Randpos,randperm(n)];
end
Tabu(:,1)=(Randpos(1,1:m))';
%第三步:m只蚂蚁按概率函数选择下一座城市,完成各自的周游
for j=2:n
for i=1:m
visited=Tabu(i,1:(j-1)); %已访问的城市
J=zeros(1,(n-j+1)); %待访问的城市
P=J; %待访问城市的选择概率分布
Jc=1;
for k=1:n
if length(find(visited==k))==0
J(Jc)=k;
Jc=Jc+1;
end
end
%计算待选城市的概率分布
for k=1:length(J)
P(k)=(Tau(visited(end),J(k))^Alpha)*(Eta(visited(end),J(k))^Beta);
end
P=P/(sum(P));
%按概率原则选取下一个城市
Pcum=cumsum(P);
Select=find(Pcum>=rand);
to_visit=J(Select(1));
Tabu(i,j)=to_visit;
end
end
if NC>=2
Tabu(1,:)=R_best(NC-1,:);
end
%第四步:记录本次迭代最佳路线
L=zeros(m,1);
for i=1:m
R=Tabu(i,:);
for j=1:(n-1)
L(i)=L(i)+D(R(j),R(j+1));
end
L(i)=L(i)+D(R(1),R(n));
end
L_best(NC)=min(L);
pos=find(L==L_best(NC));
R_best(NC,:)=Tabu(pos(1),:);
%第五步:更新信息素
Delta_Tau=zeros(n,n);
for i=1:m
for j=1:(n-1)
Delta_Tau(Tabu(i,j),Tabu(i,j+1))=Delta_Tau(Tabu(i,j),Tabu(i,j+1))+Q/L(i);
end
Delta_Tau(Tabu(i,n),Tabu(i,1))=Delta_Tau(Tabu(i,n),Tabu(i,1))+Q/L(i);
end
Tau=(1-Rho).*Tau+Delta_Tau;
%第六步:禁忌表清零
Tabu=zeros(m,n);
%历代最优路线
for i=1:n-1
plot([C(R_best(NC,i),1),C(R_best(NC,i+1),1)],[C(R_best(NC,i),2),C(R_best(NC,i+1),2)],'bo-');
hold on;
end
plot([C(R_best(NC,n),1),C(R_best(NC,1),1)],[C(R_best(NC,n),2),C(R_best(NC,1),2)],'ro-');
title(['优化最短距离:',num2str(L_best(NC))]);
hold off;
pause(0.005);
NC=NC+1;
end
%第七步:输出结果
Pos=find(L_best==min(L_best));
Shortest_Route=R_best(Pos(1),:); %最佳路线
Shortest_Length=L_best(Pos(1)); %最佳路线长度
figure(2);
plot(L_best);
xlabel('迭代次数');
ylabel('目标函数值');
title('适应度进化曲线');