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题目链接
AtCoder Beginner Contest 179 E 题,https://atcoder.jp/contests/abc179/tasks/abc179_e。
Problem Statement
Let us denote by f(x,m) the remainder of the Euclidean division of x by m.
Let A be the sequence that is defined by the initial value A1=X and the recurrence relation . Find .
Input
Input is given from Standard Input in the following format:
N X M
Output
Print .
Samples1
Sample Input 1
6 2 1001
Sample Output 1
1369
Explaination
The sequence A begins 2,4,16,256,471,620,… Therefore, the answer is 2+4+16+256+471+620=1369.
Samples2
Sample Input 2
1000 2 16
Sample Output 2
6
Explaination
The sequence A begins 2,4,0,0,… Therefore, the answer is 6.
Samples3
Sample Input 3
10000000000 10 99959
Sample Output 3
492443256176507
Constraints
- 1 ≤ N ≤ 10^10
- 0 ≤ X < M ≤ 10^5
- All values in input are integers.
题解报告
题目翻译
定义了一个函数 f(x, m),该函数的含义是 x 对 m 进行欧几里得除法的余数。
我们定义一个序列 A,,。要求我们计算 。
Euclidean division
内容来自 Wiki。
给两个整数 a 和 b,其中 ,存在一个唯一的整数 q 和 r,满足 ,其中 。
样例数据分析
样例 1
根据输入可得,N=6,X=2,M=1001。整个计算过程如下。
x | ans | |
A1 | A1=2%1001=2 | ans=2 |
A2 | A2=(2*2)%1001=4 | ans=6 |
A3 | A3=(4*4)%1001=16 | ans=20 |
A4 | A4=(16*16)%1001=256 | ans=276 |
A5 | A5=(256*256)%1001=471 | ans=743 |
A6 | A6=(471*471)%1001=620 | ans=1361 |
样例 2
根据输入可得,N=100,X=2,M=16。整个计算过程如下。
x | ans | |
A1 | A1=2%16=2 | ans=2 |
A2 | A2=(2*2)%16=4 | ans=6 |
A3 | A3=(4*4)%16=0 | ans=6 |
A4 | A4=(0*0)%16=0 | ans=6 |
...... |
样例 3
根据输入可得,N=10000000000,X=10,M=99959。我去,这个 N 太大了,我还是算了。
题目分析
看上去好像比较简单啊,但是是 E 题,难度在哪里?当看到 N 的最大值是 1e10 的时候,就知道了,直接暴力枚举肯定是 TLE。
暴力枚举代码
//https://atcoder.jp/contests/abc179/tasks/abc179_e
#include <iostream>
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;
ULL qmi(ULL a, ULL b, ULL mo) {
ULL res=1;
while(b) {
if (b&1) {
res=res*a%mo;
}
a=a*a%mo;
b>>=1;
}
return res;
}
int main() {
ULL n,x,m;
cin>>n>>x>>m;
ULL ans=0;
for (int i=1; i<=n; i++) {
ans+=x;
x=qmi(x,2,m);
//cout<<"n="<<i<<",sum="<<ans<<"\n";
if (0==x) {
break;
}
}
cout<<ans<<"\n";
return 0;
}
可以看到只有一些小数据测试用例可以通过,其他都是 TLE。
其实不需要使用快速幂,因为我们每次就是平方操作。
优化
好吧,我们开始优化环节,让我们再次阅读一下题目,我们可以发现在每次进行运算的时候,需要对 M 进行取模,而 M 的最大值为 1e5,也就是说明根据构造的函数 f(x, m) 计算出的数据可能性也就是 0 ~ 1e5-1,一共 1e5 个。也就是我们计算 Ai 的时候必然会出现循环部分,那么我们的优化就是找出这个循环部分。这样将 N 的数量级降低到了 1e5,那么我们就可以通过了。
所谓的优化,就是记录 Ai 落在 1e5 范围的数据即可。
首先,我们看在题目需要计算的是 A1+A2+...+An 的和,这样我们可以使用前缀和来降低复杂度。
我们使用两个数组,一个数组记录 Ai 的 A1+A2+...+Ai 的前缀和,另外一个数组记录 Ai 的位置。这两个数组的大小都是 1e5+4。使用数组 idx 存放索引,使用数组 sum 存放前缀和。
样例数据分析
样例 1
根据输入可得,N=6,X=2,M=1001。这样,我们可以得到优化算法的计算过程。
初始状态
第一次。A1=2%1001=2,而 idx[2]=0,说明数据没有计算。计算得 sum[1]=2。
第二次。A2=2*2%1001=4,由于 idx[4]=0,说明数据没有计算,计算得 sum[2]=6。
第三次。A3=4*4%1001=16,由于 idx[16]=0,说明数据没有计算,计算得 sum[3]=22。
第四次。A4=16*16%1001=256,由于 idx[256]=0,说明数据没有计算,计算得 sum[4]=278。
第五次。A5=278*278%1001=471,由于 idx[471]=0,说明数据没有计算,计算得 sum[5]=749。
第六次。A6=471*471%1001=620,由于 idx[620]=0,说明数据没有计算,计算得 sum[6]=1369。
第七次。A7=620*620%1001=16,由于 idx[16]=3,说明数据已经计算,开始循环。这样我们就通过打表找到了循环。
下面我们需要做的就是查找出起点(left)和终点(right),在数组 sum 中找到最终的答案。
优化后代码
//https://atcoder.jp/contests/abc179/tasks/abc179_e
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;
const int MAXN=1e5+4;
int idx[MAXN];//和位置索引
ULL sum[MAXN];//和
int main() {
ULL n,x,m;
cin>>n>>x>>m;
//打表
ULL now;//当前Ai的值
ULL cnt;//位置
ULL l;//索引起点
ULL r;//索引终点
for (cnt=1, now=x; ; now=now*now%m, cnt++) {
if (!idx[now]) {
//没有计算过,标注已经计算
idx[now]=cnt;
} else {
//数据存在
l=idx[now];
r=cnt-1;
break;
}
//更新数据表
sum[cnt]=sum[cnt-1]+now;
}
ULL len=r-l+1;
ULL ans=0;
ans+=sum[min(n, l-1)];
n=max(0ULL, n-l+1);
if (n) {
ans+=(sum[r]-sum[l-1])*(n/len)+(sum[n%len+l-1]-sum[l-1]);
}
cout<<ans<<"\n";
return 0;
}