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题目链接
AtCoder Beginner Contest 186 D 题,https://atcoder.jp/contests/abc186/tasks/abc186_d。
Problem Statement
Given are N integers A 1 , ⋯ , A N A_1, \cdots, A_{N} A1,⋯,AN. Find the sum of ∣ A i − A j ∣ \lvert A_{i}-A_{j} \rvert ∣Ai−Aj∣ over all pairs i , j i,j i,j such that 1 ≤ i < j ≤ N 1 \leq i <j \leq N 1≤i<j≤N.
In other words, find ∑ i = 1 N − 1 ∑ j = i + 1 N ∣ A i − A j ∣ \sum_{i=1}^{N-1} \sum_{j=i+1}^{N} \lvert A_{i}-A_{j} \rvert ∑i=1N−1∑j=i+1N∣Ai−Aj∣.
Input
Input is given from Standard Input in the following format:
N N N
A 1 ⋯ A N A_1 \cdots A_N A1⋯AN
Output
Print the answer.
Sample 1
Sample Input 1
3
5 1 2
Sample Output 1
8
Explaination
We have ∣ 5 − 1 ∣ + ∣ 5 − 2 ∣ + ∣ 1 − 2 ∣ = 8 \lvert 5-1 \rvert+\lvert 5-2 \rvert+\lvert 1-2 \rvert=8 ∣5−1∣+∣5−2∣+∣1−2∣=8.
Sample 2
Sample Input 2
5
31 41 59 26 53
Sample Output 2
176
Constraints
- 2 ≤ N ≤ 2 ∗ 1 0 5 2 \leq N \leq 2*10^{5} 2≤N≤2∗105
- ∣ A i ∣ ≤ 1 0 8 \lvert A_i \rvert \leq 10^{8} ∣Ai∣≤108
- A i A_i Ai is an integer.
题解报告
题目翻译
给 N N N 个整数 A 1 , ⋯ , A N A_1, \cdots, A_{N} A1,⋯,AN。求 ∑ i = 1 N − 1 ∑ j = i + 1 N ∣ A i − A j ∣ \sum_{i=1}^{N-1} \sum_{j=i+1}^{N} \lvert A_{i}-A_{j} \rvert ∑i=1N−1∑j=i+1N∣Ai−Aj∣。
题目分析
D 题有点水啊。又是一个数学题。当然如果我们使用双重循环来解,即如下代码:
for (int i=1; i<=n-1; i++) {
for (int j=i+1; j<=n; j++) {
计算和
}
}
这样的代码肯定会得到一个 TLE。因为根据数据规模 2 ∗ 1 0 5 2*10^{5} 2∗105,上面的算法是一个 O ( N 2 ) O(N^2) O(N2) 级别,也就是说,我们需要计算 2 ∗ 1 0 5 ∗ 2 ∗ 1 0 5 = 4 ∗ 1 0 10 2*10^{5}*2*10^{5}=4*10^{10} 2∗105∗2∗105=4∗1010,这个数量级不是 2 秒能完成的。因此我们需要对算法进行优化。
如何去了求绝对值
本题中我们需要计算绝对值,如何将绝对值删除?方法很简单,只需要将数据排序,采用逆序,这样我们就可以保证 A i > A j , i < j A_{i}>A{j}, i<j Ai>Aj,i<j。
数学优化
下面我们来分析一下 ∑ i = 1 N − 1 ∑ j = i + 1 N ( A i − A j ) \sum_{i=1}^{N-1} \sum_{j=i+1}^{N} (A_{i}-A_{j}) ∑i=1N−1∑j=i+1N(Ai−Aj) 到底是什么。我们通过数学展开,可以得到以下的计算方法:
∑ i = 1 N − 1 ∑ j = i + 1 N ( A i − A j ) = ( A 1 − A 2 ) + ( A 1 − A 3 ) + ⋯ + ( A 1 − A n ) + ( A 2 − A 3 ) + ( A 2 − A 4 ) + ⋯ + ( A 2 − A n ) ⋯ + ( A n − 1 − A n ) \sum_{i=1}^{N-1} \sum_{j=i+1}^{N} (A_{i}-A_{j})\\=(A_1-A_2)+(A_1-A_3)+\cdots+(A_1-A_n)\\+(A_2-A_3)+(A_2-A_4)+\cdots+(A_2-A_n)\\ \cdots \\+(A_{n-1}-A_{n}) i=1∑N−1j=i+1∑N(Ai−Aj)=(A1−A2)+(A1−A3)+⋯+(A1−An)+(A2−A3)+(A2−A4)+⋯+(A2−An)⋯+(An−1−An)
我们将第二行进行合并得到:
( A 1 − A 2 ) + ( A 1 − A 3 ) + ⋯ + ( A 1 − A n ) = ( n − 1 ) ∗ A 1 − ( A 2 + A 3 + ⋯ + A N ) (A_1-A_2)+(A_1-A_3)+\cdots+(A_1-A_n)\\=(n-1)*A_1-(A_2+A_3+ \cdots + A_N) (A1−A2)+(A1−A3)+⋯+(A1−An)=(n−1)∗A1−(A2+A3+⋯+AN)
这样 ( A 2 + A 3 + ⋯ + A N ) (A_2+A_3+ \cdots + A_N) (A2+A3+⋯+AN) 不就是前 N 项前缀和减去第 1 项前缀和,即 s u m [ N ] − s u m [ 1 ] sum[N]-sum[1] sum[N]−sum[1]。这样第二行就可以表示为 ( n − 1 ) ∗ A 1 − ( s u m [ N ] − s u m [ 1 ] ) (n-1)*A_1-(sum[N]-sum[1]) (n−1)∗A1−(sum[N]−sum[1])。
我们将第三行进行合并得到:
( A 2 − A 3 ) + ( A 2 − A 4 ) + ⋯ + ( A 2 − A n ) = ( n − 2 ) ∗ A 2 − ( A 3 + A 4 + ⋯ + A N ) (A_2-A_3)+(A_2-A_4)+\cdots+(A_2-A_n)\\=(n-2)*A_2-(A_3+A_4+ \cdots + A_N) (A2−A3)+(A2−A4)+⋯+(A2−An)=(n−2)∗A2−(A3+A4+⋯+AN)
这样 ( A 2 + A 3 + ⋯ + A N ) (A_2+A_3+ \cdots + A_N) (A2+A3+⋯+AN) 不就是前 N 项前缀和减去第 2 项前缀和,即 s u m [ N ] − s u m [ 2 ] sum[N]-sum[2] sum[N]−sum[2]。这样第二行就可以表示为 ( n − 2 ) ∗ A 2 − ( s u m [ N ] − s u m [ 2 ] ) (n-2)*A_2-(sum[N]-sum[2]) (n−2)∗A2−(sum[N]−sum[2])。
以此类推。考虑到每行的第一项, ( n − 1 ) ∗ A 1 (n-1)*A_1 (n−1)∗A1,由于有乘法存在,很有可能导致数据溢出。我们将每行的第一行进行合并。可得: ( n − 1 ) ∗ A 1 + ( n − 2 ) ∗ A 2 + ⋯ + A n − 1 = ( A 1 + A 2 + ⋯ + A n − 1 ) + ( A 1 + A 2 + ⋯ + A n − 2 ) + ⋯ + ( A 1 + A 2 ) + ( A 1 ) = s u m [ n − 1 ] + s u m [ n − 2 ] + ⋯ + s u m [ 1 ] (n-1)*A_1+(n-2)*A_2+ \cdots + A_{n-1}=(A_1+A_2+ \cdots + A_{n-1})+(A_1+A_2+ \cdots + A_{n-2})+\cdots+(A_1+A_2)+(A_1)=sum[n-1]+sum[n-2]+ \cdots + sum[1] (n−1)∗A1+(n−2)∗A2+⋯+An−1=(A1+A2+⋯+An−1)+(A1+A2+⋯+An−2)+⋯+(A1+A2)+(A1)=sum[n−1]+sum[n−2]+⋯+sum[1]。
这样,我们通过前缀和,将最终的计算变为:
for (int i=1; i<n; i++) {
ans += sum[n-i]-(sum[n]-sum[i]);
}
数据范围估计
根据题目,最大的 N 为 2e5, A i A_i Ai 最大值为 1e8,因此最大的前缀和可能是 2 ∗ 1 0 5 ∗ 1 0 8 = 2 ∗ 1 0 13 2*10^5*10^8=2*10^{13} 2∗105∗108=2∗1013,超过了 int 的范围,因此需要用 long long 来保存数据。
真是倒霉,在现场竞赛中,竟然忘记分析了这个细节,导致 WA。我竟然会认为 ans 用 long long 表示不够,需要更大的数据。郁闷啊。
AC 参考代码
//https://atcoder.jp/contests/abc186/tasks/abc186_d
//D - Sum of difference
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cstdio>
using namespace std;
//#define __LOCAL
typedef long long LL;
const int MAXN=2e5+4;
LL a[MAXN];
LL sum[MAXN];
int main() {
#if !defined(__LOCAL)
cin.tie(0);
ios::sync_with_stdio(false);
#endif
int n;
cin>>n;
for (int i=1; i<=n; i++) {
cin>>a[i];
}
sort(a+1, a+n+1, greater<int>());
for (int i=1; i<=n; i++) {
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
}
LL ans=0;
for (int i=1; i<n; i++) {
ans += sum[n-i]-(sum[n]-sum[i]);
}
//输出
cout<<ans<<"\n";
//print(ans);
return 0;
}
时间复杂度
O ( N ∗ l o g N ) O(N*logN) O(N∗logN)。
空间复杂度
O(N)。