一、什么是算法的空间复杂度
- 空间复杂度:评价算法运行时的空间开销(内存开销)的一个指标;即,空间开销(内存开销)与问题规模n之间的关系
二、如何计算
- 普通程序
- ①找到所占空间大小与问题规模相关的变量
- ②分析所占空间x与问题规模n的关系 x=f(n)
- ③x的数量级O(x) 就是算法空间复杂度 S(n)
- 递归程序
- ①找到递归调用的深度x与问题规模n的关系x=f(n)
- ②x的数量级O(x) 就是算法空间复杂度S(n)
- 注:有的算法各层函数所需存储空间不同,分析方法略有不同
三、小练习1:逐步递增型爱你
void loveYou(int n)
{
int i=1;
while(i<=n)
{
i++;
printf("I Love You %d\n", i);
}
printf("I Love You More Than %d\n", n);
}
程序运行:把程序编译后的机器指令放到内存中(程序代码大小固定,与问题规模无关) ------> cpu开始执行每一行代码 ------> 代码运行时内存中需要有一片区域用于存放数据(局部变量、参数<无论问题规模怎么变,算法运行所需的内存空间都是固定的常量,算法空间复杂度为S(n)=O(1)>...)
算法原地工作--算法所需内存空间为常量
S(n) = O(1)
四、小练习2
void test(int n)
{
int flag[n]; //声明一个长度为n的数组
int i;
// ...此处省略很多代码
}
内存:程序代码(大小固定)、数据(局部变量i,参数n...,数组flag[n])
空间复杂度:?
解:
假设一个int变量占4B
所需内存空间 = 4 + 4n + 4 = 4n + 8
即,S(n) = O(n)
五、小练习3
void test(int n)
{
int flag[n][n]; // 声明 n*n 的二维数组
int i;
// ...此处省略很多代码
}
内存:程序代码(大小固定)、数据(局部变量i,参数n...,数组flag[n][n])
所需内存空间 = 4 + 4*n*n + 4 = 4n² + 8
即,S(n) = O(n²)
六、小练习4
void test(int n)
{
int flag[n][n]; // 声明 n*n 的二维数组
int other[n]; // 声明一个长度为n的数组
int i;
// ...此处省略很多代码
}
算法运行时内存:程序代码(大小固定)、数据(局部变量i,参数n...,数组flag[n][n],数组other[n])
S(n) = O(n²) + O(n) + O(1) = O(n²)
七、小练习5:递归型爱你(各层调用所需空间相同)
void loveYou(int n) // n为问题规模
{
int a,b,c; // 声明一系列局部变量
// ...省略代码
if(n > 1)
{
loveYou(n-1);
}
printf("I Love You %d\n", n);
}
算法运行时内存:程序代码(大小固定)、数据(参数n,局部变量abc...)
假设每层递归耗费kB内存
所需内存空间 = knB
S(n) = O(n)
八、小练习6:递归型爱你(各层调用所需空间不同)
void loveYou(int n) // n为问题规模
{
int flag[n]; // 声明一个数组
// ...省略数组初始化代码
if(n > 1)
{
loveYou(n-1);
}
printf("I Love You %d\n", n);
}
算法运行时内存:程序代码(大小固定)、数据(参数n,局部变量flag[n]...)
所需内存空间 = 1 + 2 + 3 + ... + n = [n(1+n)]/2 = ½n² + ½n
S(n) = O(n²)