椭圆曲线密码学是下一代的公钥密码学，它比之前的公钥密码学系统例如RSA和Diffe-Hellman在安全性方面有显著提高。椭圆曲线密码学是目前被广泛使用的最强大的密码学算法之一，但是真正理解其工作原理的开发者并不多。

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1、椭圆曲线方程

椭圆曲线有一系列满足特定数学方程的点组成。一个椭圆曲线的方程看起来像这样：

Y² = X³ + ax + b

也有其他的椭圆曲线表达式，从技术上来将，一个椭圆曲线就是由满足上述方程的点组成，它的一些固有的特征使其非常适合用于密码学。

上面的曲线有很多有趣的特性，其中之一就是水平对称性。椭圆曲线上的任何一个点关于X轴的对称点依然还在曲线上。另一个更有意思的特性是，任何一条不垂直于X轴的直线与椭圆曲线的交点不会超过3个。假设我们从椭圆曲线上任选两个点画一条直线，那么这条直线将在第三个点与椭圆曲线相交。

可以把这个过程想象成一个台球游戏，如果你在A点拿一个球向B点射击，当这个球碰到曲线后，就会弹向下方（如果球在X轴上方）或上方（如果球在X轴下方），就像下面这张动图：

如果将台球在这两点上的运动称为dot运算，那么椭圆曲线上任何两点都可以进行dot运算：

A dot B = C
A dot A = B
A dot C = D

现在，如果你有两个点，一个初始点和自己dot运算n次后到达终止的点，那么当你只知道这个终止点和初始点的时候，要找出这个n具体是多少是非常困难的。

假设一个人自己在屋里玩台球，他可以按照上面的规则一遍遍的击球，过一会儿进来另一个人看到了台球的当前位置，那么即使他知道游戏规则以及开始时球的位置，也无法确定到底击打了多少次球。唯一的办法就是自己重玩游戏并试着让球到达同样的位置。

2、素数椭圆曲线

我们看到的椭圆曲线是一个简化版本，它对于解释椭圆曲线的工作原理很有帮助，不过和密码学中实际用到的曲线还有比较大的差距。

将椭圆曲线用于密码学需要首先将取值范围限定到有限区间，就像RSA里那样，我们只允许一个固定区间内的整数，如果数值超过了这个区间的最大值，就取模。如果我们选择一个素数作为区间最大值，那么这个椭圆曲线就被称为素数曲线并同时具有了令人难以置信的密码学特性。

虽然上图看起来不像传统意义上的曲线，它的确是，它是原始的椭圆曲线被限定在指定的区间内并且取整的结果，你能看到关于X轴的对称性依然存在。

回到我们的台球游戏，前面的dot运算对这个离散曲线依然适用。曲线上的直线方程依然也还有同样的性值。更令人激动的是离散曲线上的dot运算可以更高效的计算。当两点连成的直线碰到边界后会转到另一边继续前进，直到碰到一个点：

有了这些新的工具，我们可以进行一些密码学操作了。假设你有一条消息，将其设为x坐标，然后求出来曲线上对应点的y坐标。

输出就是 : (71, 6), “-”, (78, 44), (80, 4), 64, 24)

椭圆曲线离散对数是一个难题，这是椭圆曲线密码学的根基。虽然已经三个世纪的数学研究，目前还没有找到什么算法可以比原始求解更有效。和素数分解不同，基于目前的数学知识，不存在可以缩小门限函数差距的捷径。这意味着对于相同大小的数值，求解椭圆曲线离散对数要远远难于素数分解，这也意味着椭圆曲线密码学系统要比RSA或Diffe-Hellman更难攻破。

适用椭圆曲线密码学，你可以用较小的密钥获得同样的安全等级。小密钥变得越来越重要，尤其是今天有越来越多的密码学计算是在手机和IOT设备之类的不那么强大的设备上运行的。

原文链接：椭圆曲线密码学科普 — 汇智网