前言
最近复习高级数理逻辑,抽空写了一下个人对于模态逻辑中关于必然和可能的理解,由于是考前突击的所以会有各种问题,所以有可能完全是错的,大家看的时候注意擦亮双眼,假如被我坑了,概不负责,嘿嘿嘿。
必然
⊨ k w □ A \vDash_k^w\Box A ⊨kw□A:这里K是指可能宇宙的集合,A是指一个命题,w是可能宇宙中的一个。它的意思对于从w出发,对于所有能到达的可能宇宙(可以为空),A都成立。
就比如现在有一个宇宙集合 k = { w 1 , w 2 } k = \{w_1,w_2\} k={
w1,w2}。可达关系R为 { w 1 ≤ w 2 } \{w_1 \leq w_2\} {
w1≤w2}, ≤ \leq ≤表示的是从 w 1 w_1 w1能够到达 w 2 w_2 w2。可达关系如图所示。
那么 ⊨ k w 1 □ A \vDash_k^{w_1}\Box A ⊨kw1□A的意思就是,对于 w 1 w_1 w1能够到达的可能宇宙,A成立。也就是 ⊨ k w 2 A \vDash_k^{w_2}A ⊨kw2A,即在 w 2 w_2 w2中A成立。
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- ⊨ k w 1 □ A \vDash_k^{w_1}\Box A ⊨kw1□A成立与否与 w 1 w_1 w1中A是否成立没有关系。只与 w 1 w_1 w1可达的世界有关
- 假如 w w w可达世界为空,那么 ⊨ k w □ A \vDash_k^{w}\Box A ⊨kw□A也成立。例如,在这张图中, ⊨ k w 2 □ A \vDash_k^{w_2}\Box A ⊨kw2□A就成立,同时 ⊨ k w 2 □ ¬ A \vDash_k^{w_2}\Box \neg A ⊨kw2□¬A也成立。因为 w 2 w_2 w2没有可达宇宙。
可能
⊨ k w ◊ A \vDash_k^w\Diamond A ⊨kw◊A:这里K是指可能宇宙的集合,A是指一个命题,w是可能宇宙中的一个。它的意思对于从w出发,它所能到达的可能宇宙,至少有一个可能宇宙A成立。
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例如,这张可达图中, ⊨ k w 1 ◊ A \vDash_k^{w_1}\Diamond A ⊨kw1◊A的意思是在 w 1 w_1 w1的可达宇宙 { w 2 , w 3 , w 4 , w 5 } \{w_2,w_3,w_4,w_5\} {
w2,w3,w4,w5}至少有一个使得A成立。
注意两点:
- 假如 ⊨ k w ◊ A \vDash_k^{w}\Diamond A ⊨kw◊A中的w没有可达世界,那么该命题不成立。比如, ⊨ k w 2 ◊ A \vDash_k^{w_2}\Diamond A ⊨kw2◊A, ⊨ k w 3 ◊ A \vDash_k^{w_3}\Diamond A ⊨kw3◊A, ⊨ k w 4 ◊ A \vDash_k^{w_4}\Diamond A ⊨kw4◊A, ⊨ k w 5 ◊ A \vDash_k^{w_5}\Diamond A ⊨kw5◊A都是不成立的。因为它们没有可达世界。
- 和 ⊨ k w □ A \vDash_k^{w}\Box A ⊨kw□A一样, ⊨ k w ◊ A \vDash_k^{w}\Diamond A ⊨kw◊A也仅仅只考虑w的可达世界A是否成立,而不考虑在w里面A是否成立。
多个可能和必然
那么 □ □ □ A \Box\Box\Box A □□□A, ◊ ◊ ◊ A \Diamond\Diamond\Diamond A ◊◊◊A, □ □ □ ◊ A \Box\Box\Box\Diamond A □□□◊A这种多个可能和必然符号嵌套是什么意思呢?这里我们列出这样一个可能世界,来考察一个最简单的例子, ⊨ k w 1 □ □ A \vDash_k^{w_1}\Box\Box A ⊨kw1□□A
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在该题中,要让 ⊨ k w 1 □ □ A \vDash_k^{w_1}\Box\Box A ⊨kw1□□A成立,就必须同时满足 ⊨ k w 2 □ A \vDash_k^{w_2}\Box A ⊨kw2□A和 ⊨ k w 3 □ A \vDash_k^{w_3}\Box A ⊨kw3□A成立。也就是说要让 ⊨ k w 4 A \vDash_k^{w_4}A ⊨kw4A和 ⊨ k w 5 A \vDash_k^{w_5}A ⊨kw5A同时成立,也就是在 w 4 w_4 w4和 w 5 w_5 w5中同时满足A成立即可。其他的符号嵌套请大家自己判断吧。
在不考虑自反,对称,传递,欧几里得性质的情况下(也就是类似于二叉树的样子),用直白的话来说,A是自己, □ A \Box A □A是儿子, □ □ A \Box \Box A □□A是孙子。有几个 □ \Box □就是几代。
参考高级数理逻辑ppt第31页
一个选择题讲解
已知可能世界的集合为,可达关系 R = { < w 8 , w 6 > , < w 2 , w 3 > , < w 4 , w 5 > , < w 6 , w 7 > , < w 1 , w 2 > , < w 5 , w 6 > , < w 7 , w 8 > } R=\{<w_8,w_6>,<w_2,w_3>,<w_4,w_5>,<w_6,w_7>,<w_1,w_2>,<w_5,w_6>,<w_7,w_8>\} R={
<w8,w6>,<w2,w3>,<w4,w5>,<w6,w7>,<w1,w2>,<w5,w6>,<w7,w8>},其中 < w i , w j > <w_i,w_j> <wi,wj>表示 w i w_i wi到 w j w_j wj可达,请问那些公式是真的:
A) ◊ A → ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ A \Diamond A \rightarrow \Diamond \Diamond \Diamond \Diamond \Diamond \Diamond A ◊A→◊◊◊◊◊◊A
B) □ A → ◊ A \Box A \rightarrow \Diamond A □A→◊A
C) □ A → □ □ □ □ □ □ □ A \Box A \rightarrow \Box \Box \Box \Box \Box \Box \Box A □A→□□□□□□□A
D) A → ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ A A \rightarrow \Diamond \Diamond \Diamond \Diamond \Diamond A A→◊◊◊◊◊A
我们先画出可达世界图如图4所示
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- A中, ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ A \Diamond \Diamond \Diamond \Diamond \Diamond \Diamond A ◊◊◊◊◊◊A可能不存在这么深的可达世界。例如 ⊨ k w 1 ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ A \vDash_k^{w_1}\Diamond \Diamond \Diamond \Diamond \Diamond \Diamond A ⊨kw1◊◊◊◊◊◊A, w 1 w_1 w1没有这么遥远的后代,所以错误。
- B 中, ⊨ k w 3 □ A \vDash_k^{w_3}\Box A ⊨kw3□A成立,因为它没有可达世界,而 ⊨ k w 3 ◊ A \vDash_k^{w_3}\Diamond A ⊨kw3◊A不成立,因为它没有可达世界
- C有争议,尚未定论
- D中,和A一样,没有这么遥远的后代。