LeetCode系列之「回文子串」

给定一个字符串，返回这个字符串中有多少个回文子串。

两个相同的回文子串出现在不同的位置，认为是2个回文串。

a、aa、aaa、aba、aabaa、abcba均认为是回文子串。

示例1：

输入

"aaa"

输出

说明

a、a、a、aa、aa、aaa

示例2：

输入

"abcb"

输出

说明

a、b、c、b、bcb

函数签名：

import java.util.*;

public class Solution{
    
    
  	public int palindromeCount(String str){
    
    
      	
    }
}

注意题目中说的是回文子串，而不是回文子序列，子串是连续的，而子序列是不要求连续的。

方法一：中心拓展

计算有多少个回文子串的最朴素方法就是枚举出所有的回文子串，而枚举出所有的回文字串又有两种思路，分别是：

枚举出所有的子串，然后再判断这些子串是否是回文；
枚举每一个可能的回文中心，然后用两个指针分别向左右两边拓展，当两个指针指向的元素相同的时候就拓展，否则停止拓展。

假设字符串的长度为 n。我们可以看出前者会用 $O(n^2)$ 的时间枚举出所有的子串 $s[l_{i}···r_{i}]$ ，然后再用 $O(r_i - l_i + 1)$ 的时间检测当前的子串是否是回文，整个算法的时间复杂度是 $O(n^3)$ 。而后者枚举回文中心的是 $O (n)$ 的，对于每个回文中心拓展的次数也是 $O (n)$ 的，所以时间复杂度是 $O(n^2)$ 。所以我们选择第二种方法来枚举所有的回文子串。

在实现的时候，我们需要处理一个问题，即如何有序地枚举所有可能的回文中心，我们需要考虑回文长度是奇数和回文长度是偶数的两种情况。如果回文长度是奇数，那么回文中心是一个字符；如果回文长度是偶数，那么中心是两个字符。当然你可以做两次循环来分别枚举奇数长度和偶数长度的回文，但是我们也可以用一个循环搞定。我们不妨写一组出来观察观察，假设 n = 4，我们可以把可能的回文中心列出来：

编号 $i$	回文中心左起始位置 $l_i$	回文中心右起始位置 $r_i$
0	0	0
1	0	1
2	1	1
3	1	2
4	2	2
5	2	3
6	3	3

如下图所示：

由此我们可以看出长度为 nn 的字符串会生成 2n-12n−1 组回文中心 $l_i, r_i]$ ，其中 $l_i = \frac{i}{2}$ ， $r_i = l_i + (i \%2)$ 。这样我们只要从 $0$ 到 $2 n - 1$ 遍历$ i$，就可以得到所有可能的回文中心，这样就把奇数长度和偶数长度两种情况统一起来了。

Java实现如下：

class Solution {
    
    
    public int countSubstrings(String s) {
    
    
        int res = 0;
        int len = s.length();
        for(int i = 0; i <= 2*len-1; i++){
    
    
            int left = i/2;
            int right = i/2 + i%2;
            while(left >= 0 && right < len && s.charAt(left) == s.charAt(right)){
    
    
                left--;
                right++;
                res++;
            }
        }
        return res;
    }
}

时间复杂度： $O(n^2)$
空间复杂度： $O (1)$

笔试的话还要考虑到输入输出：

完整代码如下：

import java.util.Scanner;

/**
 * @Author Hory
 * @Date 2020/10/22
 */
public class Palindrome {
    
    
  
    public static void main(String[] args) {
    
    
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        String str = input.nextLine();
        int out = countSubstrings(str);
        System.out.println(out);
    }

    public static int countSubstrings(String s) {
    
    
        int res = 0;
        int len = s.length();
        for(int i = 0; i <= 2*len-1; i++){
    
    
            int left = i/2;
            int right = i/2 + i%2;
            while(left >= 0 && right < len && s.charAt(left) == s.charAt(right)){
    
    
                left--;
                right++;
                res++;
            }
        }
        return res;
    }
}

方法二：Manacher 算法

Manacher算法，又叫“马拉车”算法，可以在时间复杂度为O(n)的情况下求解一个字符串的最长回文子串长度的问题。

关于Manacher 的解法可直接看Leetcode官方题解。

LeetCode系列之「回文子串」

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