AcWing 867. 分解质因数
由于我是我们队的数论选手,寒假刷题会略偏向于数论方面QWQ,在此记录 2021-01-11 刷题打卡~
AC代码:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void divide(int n) {
for (int i = 2; i <= n / i; i++) {
if(n % i == 0) {
// i 一定是质数
int s = 0;
while( n % i == 0) {
n /= i;
s++;
}
printf("%d %d\n",i,s);
}
}
// 对于任意一个正整数数n,最多只包含一个大于sqrt(n)的质因子
// 利用质因数的这一性质,可以有效降低复杂度
// 但是最后需要写一个判断,判断 n 是否为 1
// 如果 n > 1 ,则 n 确实有一个大于sqrt(n)的质因子
if(n > 1) {
printf("%d %d\n",n,1);
}
}
int main() {
int n;
cin >> n;
while (n--) {
int num;
cin >> num;
divide(num);
printf("\n");
}
return 0;
}
知识点:
1.什么是质因数?
- 质因数(也称为素因数或质因子)
- 在数论里是指能整除给定正整数的质数。除了1以外,两个没有其他共同质因子的正整数称为互质。因为1没有质因子,1与任何正整数(包括1本身)都是互质。正整数的因数分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘,质因子如重复可以用指数表示。根据算术基本定理,任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。只有一个质因子的正整数为质数。
- 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,这几个质数就都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的因数,那么就说这个质数是这个数的质因数;而这个因数一定是一个质数。
- 质因数就是一个数的约数,并且是质数。
2.质因数的一个很特殊的性质:也是优化试除法的关键所在
对于任意一个正整数数n, 最多只包含一个大于sqrt(n)的质因子
证明过程:
反证法,如果存在两个的话,这两个质因数相乘,结果必然大于n,与实际情况不符,因此只有一个。
3.关于判断质数的试除法,和质因数分解的试除法的比较:
判断质数的试除法,时间复杂度一定是 O(sqrt(n))
质因数分解的试除法,时间复杂度是介于 O(log n) ~ O(sqrt(n)) 之间的,例如:加入这个数是 2 ^ k ,是只用循环 k 次的。