错排问题
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题目描述
解题思路
这道题是一道入门级(个鬼)的递推。
设 f n f_n fn 为 n n n 个数的合法排列。
我们将第 n n n 个数放在第 k k k 个位置上,则有 n − 1 n-1 n−1 中放法( n ! = k n!=k n!=k)。
余下的元素有两种情况:
- 将 k k k 放在 n n n 上,则剩下的元素为 n − 2 n-2 n−2 的错排,即 f n − 2 f_{n-2} fn−2。
- 将 k k k 放在非 n n n 的位置上,则包括 k k k 在内剩下的元素为 n − 1 n-1 n−1 的错排,即 f n − 1 f_{n-1} fn−1。
因为我们是在确定 n n n 的位置之后再考虑 k k k 的情况,所以 n n n 的情况和 k k k 的情况满足乘法原理。
因为 k k k 放 n n n 与不放 n n n 是两种不同的情况,所以这两种情况满足加法原理。
得递推式为: f n = ( n + 1 ) ( f n − 1 + f n − 2 ) f_n=(n+1)(f_{n-1}+f_{n-2}) fn=(n+1)(fn−1+fn−2)
其中 f 1 = 0 f_1=0 f1=0, f 2 = 1 f_2=1 f2=1。
code
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define int long long
using namespace std;
int n;
int f[30];
signed main()
{
cin>>n;
f[1]=0,f[2]=1;
for(int i=3;i<=n;i++)
f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2]);
cout<<f[n]<<endl;
}