ACM模板

概念

闭合图中所有的点的出边必须指向内部的点

建图

原图的边在网络流中的边容量是INF，如果点权是正，那么源点向其连边，容量是点权；否则它向汇点连边，容量是点权绝对值

证明

考虑最小割 $[S,T]$，所求的满足条件的闭合子图为$V_1$

S = V 1 ∪ { s } S=V_1\cup \{ s \} S=V1​∪{ s} ， T = V 2 ∪ { t } T=V_2\cup \{t \} T=V2​∪{ t}，其中$V_2=V-V_1$
$$c[S,T]=\sum _{v\in V_2^{+}}{w}_v+\sum _{v\in V_1^{-}}(-w_v)$$

而闭合子图的权值为
$$W(V_1)=\sum _{v\in V_1^{+}}{w}_v+\sum _{v\in V_1^{-}}{w}_v=\sum _{v\in V_1^{+}}{w}_v-\sum _{v\in V_1^{-}}(-w_v)$$

于是有
$$c[S,T]+W(V_1)=\sum _{v\in V_1^{+}}{w}_v+\sum _{v\in V_2^{+}}{w}_v=\sum _{v\in V^{+}}{w}_v$$

即
$$W(V_1)=\sum _{v\in V^{+}}{w}_v-c[S,T]$$

模板题

最大获利

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=55010,M=6*N,INF=0x3f3f3f3f;
int n,m;
int h[N],e[M],ne[M],f[M],idx;
int S,T,d[N],q[N],cur[N];
void add(int a,int b,int c)
{
    
    
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],f[idx]=c,h[a]=idx++;
    e[idx]=a,ne[idx]=h[b],f[idx]=0,h[b]=idx++;
}
bool bfs()
{
    
    
    memset(d,-1,sizeof d);
    int tt=0,hh=0;
    q[S]=0,cur[S]=h[S],d[S]=0;
    while(hh<=tt)
    {
    
    
        int t=q[hh++];
        for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i])
        {
    
    
            int j=e[i];
            if(d[j]==-1&&f[i])
            {
    
    
                d[j]=d[t]+1;
                cur[j]=h[j];
                if(j==T) return 1;
                q[++tt]=j;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int dfs(int u=S,int flow=INF)
{
    
    
    if(u==T) return flow;
    int rmn=flow;
    for(int i=cur[u];i!=-1&&rmn;i=ne[i])
    {
    
    
        cur[u]=i;
        int j=e[i];
        if(d[j]==d[u]+1&&f[i])
        {
    
    
            int t=dfs(j,min(f[i],rmn));
            if(!t) d[j]=-1;
            f[i]-=t,f[i^1]+=t,rmn-=t;
        }
    }
    return flow-rmn;
}
int dinic()
{
    
    
    int r=0;
    while(bfs()) r+=dfs();
    return r;
}
int main()
{
    
    
    cin>>n>>m;
    memset(h,-1,sizeof h);
    S=0,T=n+m+1;
    int s=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    
    
        int p;
        cin>>p; 
        add(i,T,p);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
    
    
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        add(i+n,a,INF),add(i+n,b,INF);
        add(S,i+n,c);
        s+=c;
    }
    cout<<s-dinic()<<'\n';
    return 0;
}