什么是01最短路
顾名思义,边权只有0和1的最短路。
算法分析
01最短路是最短路类型中比较特殊的一种,当然你也可以用一般的最短路解法(Dijkstra或spfa) 但总所周知利用bfs队列维护,时间复杂度往往只需要o(N)。那该如何实现呢?如果当前处理的点连接的边为0,那么将这个点移至队首,否则移入队尾,这样就可以保证队列的单调性。
算法正确性
当我们更新到的点边权为0时,那么这个点一定是到当前为止的最短路,所以可以直接将改点移至队首,如果这个点边权为1,那么这个点可能并不是到当前为止最短的,因此我们要将它移至队尾。
算法应用
通常在遇到的最短路问题中,经常可以将问题抽象为01最短路的模型。例如求一条路径中有多少边权大于k,就可以把大于k的转换成1,小于等于k的转换为0,跑一边bfs即可得出答案。
acWing.通信线路
这道例题就是非常好的双端队列应用。
根据题意,我们可以让k条边的边权直接为0,然后费用就剩下的路径中最长的边权,然后要让费用最小。转化一下,就是求出最小的第k+1长的边的权值,那也就是说一条路径中,只有小于等于k条边可以比自己大,那么不就是经典的01最短路模型吗。接着,为了求得这个最小值,我们可以用二分的思想,如果满足,那么就继续缩小范围。这里要注意一下判定答案不存在和0的情况,如果最短路径上的边小于k条,那么显然可以为0。所以初始的二分的范围要在0~1e6+1之间,如果答案为1e6+1,说明没有找到,输出-1即可。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
const int M = 20010;
int n, m, tot, k;
int vis[N], h[N], e[M], vi[M], ne[M], dis[N], backup[N];
void add(int u, int v, int w){
e[tot] = v, vi[tot] = w, ne[tot] = h[u], h[u] = tot++;
}
struct node{
int now, d;
};
bool check(int x){
memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
memset(vis, 0, sizeof vis);
dis[1] = 0;
deque<node> q;
q.push_back(node{
1, dis[1]});
while(q.size()){
node p = q.front();
q.pop_front();
int u = p.now;
if (vis[u]) continue;
vis[u] = 1;
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]){
int v = e[i];
int w = vi[i] > x ? 1 : 0;
if (dis[v] > dis[u] + w){
dis[v] = dis[u] + w;
if (!vis[v]){
if (!w)
q.push_front(node{
v, dis[v]});
else
q.push_back(node{
v, dis[v]});
}
}
}
}
if (dis[n] <= k) return true;
else return false;
}
int main(){
cin >> n >> m >> k;
memset(h, -1, sizeof h);
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int x, y, w;
cin >> x >> y >> w;
add(x, y, w), add(y, x, w);
}
int l = 0, r = 1e6+1;
int mid;
while(l <= r){
mid = (l+r) >> 1;
if (check(mid)) r = mid - 1;
else l = mid + 1;
}
if (r == 1e6+1) cout << -1;
else cout << l << endl;
}