题目
有N件物品和一个最多能被重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次,求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
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这是标准的背包问题,以至于很多同学看了这个自然就会想到背包,
甚至都不知道暴力的解法应该怎么解了。
这样其实是没有从底向上去思考,而是习惯性想到了背包,
那么暴力的解法应该是怎么样的呢?
每一件物品其实只有两个状态,取或者不取,所以可以使用回溯法搜索出所有的情况,
那么时间复杂度就是O(2^n),这里的n表示物品数量。
所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化!
举一个例子:
背包最大重量为4。
物品为:
重量 价值
物品0 1 15
物品1 3 20
物品2 4 30
问背包能背的物品最大价值是多少?
解题思路与算法
二维dp数组背包已经说过了,递推公式:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上,表达式完全可以是:dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
于其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上,不如只用一个一维数组了,只用dp[j](一维数组,也可以理解是一个滚动数组)。
这就是滚动数组的由来,需要满足的条件是上一层可以重复利用,直接拷贝到当前层。
- 确定递推公式:确定dp数组及其下标含义,dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j]。dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
- dp数组的初始化:dp[0]=0
- 先遍历物品,再遍历背包,背包倒序遍历
代码
public void test_1_wei_bag_problem() {
int[] weight = {
1, 3, 4};
int[] value = {
15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
// 初始化
int[] dp = new int[bagWeight +1];
for(int i = 0; i < weight.length; i++) {
// 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) {
// 遍历背包容量
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
}