2020-04-16 5.2开环系统Nyquist曲线绘制
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绘制方法
1. 解析法
对于开环传递函数 G ( s ) H ( s ) G(s)H(s) G(s)H(s),令 s = j ω s=j\omega s=jω,得到开环系统的频率特性 G ( j ω ) H ( j ω ) G(j\omega)H(j\omega) G(jω)H(jω)(一定是一个复变函数),令 ω \omega ω在 ( 0 , + ∞ ) (0, +\infty) (0,+∞)取值、列表、描点、连线。(工程实践中不适用)。
2. 借助软件绘制
G1 = tf([2 5], [1 4 3 0]);
nyquist(G1);
3. 典型环节绘制法
3.0 过程
- 典型环节相乘时,幅值相乘、相角相加
- 绘制的是概略地 Nyquist 曲线(把核心要素绘制准确)
3.1 Nyquist曲线的起点 ω = 0 + \omega=0_{+} ω=0+
开环频率特性转化为
G ( j ω ) H ( j ω ) → K ( j ω ) ν G(j\omega)H(j\omega) \to \frac{K}{(j\omega)^\nu} G(jω)H(jω)→(jω)νK
因此起点与比例环节 K K K和积分环节的个数有关。
- ν < 0 \nu < 0 ν<0,起于原点,幅值为 0 0 0,相角为 − ν ⋅ 90 ° -\nu \cdot 90° −ν⋅90°
- ν = 0 \nu = 0 ν=0,没有积分环节,幅值为 K K K,相角为 0 ° 0° 0°,起于 ( K , j 0 ) (K, j0) (K,j0)
- ν > 0 \nu > 0 ν>0,有 ν \nu ν个积分环节,幅值为 ∞ \infty ∞,相角为 − ν ⋅ 90 ° -\nu \cdot 90° −ν⋅90°
- 若起于虚轴附近的无穷远处(积分环节为奇数),则看实部在 ω = 0 + \omega=0_{+} ω=0+的极限值,
- 若为正,则起于虚轴右侧;
- 若为负,则起于虚轴左侧;
- 若为0,则起于虚轴上。
- 若起于实轴附近的无穷远处(积分环节为偶数),则看虚部在 ω = 0 + \omega=0_{+} ω=0+的极限值,
- 若为正,则起于实轴上方;
- 若为负,则起于实轴下方;
- 若为0,则起于实轴上。
- 若起于虚轴附近的无穷远处(积分环节为奇数),则看实部在 ω = 0 + \omega=0_{+} ω=0+的极限值,
3.2 Nyquist曲线的终点( ω → ∞ \omega \to \infty ω→∞)
- n = m n = m n=m,频率特性分子分母阶次相同, ω → ∞ \omega \to \infty ω→∞时,结果为 K ∗ K^* K∗,终点为 ( K ∗ , j 0 ) (K^*, j0) (K∗,j0)。
- n > m n > m n>m,频率特性分母阶次大于分子阶次, ω → ∞ \omega \to \infty ω→∞时,幅值为 0 0 0,相角为 ( n − m ) × ( − 90 ° ) (n - m) \times (-90°) (n−m)×(−90°),终点是原点,按照 ( n − m ) × ( − 90 ° ) (n - m) \times (-90°) (n−m)×(−90°)趋近于终点。
3.3 Nyquist曲线与虚轴的交点
令频率特性实部为 0 0 0,求出自变量频率 ω \omega ω的值,再带入到频率特性虚部当中,即可求出曲线与虚轴交点坐标。
3.4 Nyquist曲线与实轴的交点
令频率特性虚部为 0 0 0,求出自变量频率 ω \omega ω的值,再带入到频率特性实部当中,即可求出曲线与实轴交点坐标。
3.5 典型环节绘制法绘制步骤
- 根据规律1、2判断起点和终点的大体位置;
- 可根据典型环节的规律判断象限;
- 根据规律3、4确定与实轴和虚轴的交点;
- 画出概略开环幅相特性图。
3.6 例题
例1
已知系统的开环传递函数
G ( s ) = K ( T 1 s + 1 ) ( T 2 s + 1 ) , ( K , T 1 , T 2 > 0 ) G(s)=\frac{K}{(T_{1}s+1)(T_{2}s+1)}, (K, T_{1}, T_{2} > 0) G(s)=(T1s+1)(T2s+1)K,(K,T1,T2>0)
实概略绘制系统开环幅相曲线。
解:
- 0 ∘ , ( 0 , − 9 0 ∘ ) , ( 0 , − 9 0 ∘ ) 0^{\circ}, (0, -90^{\circ}), (0, -90^{\circ}) 0∘,(0,−90∘),(0,−90∘)总的为 ( 0 , − 18 0 ∘ ) (0, -180^{\circ}) (0,−180∘)
- 起点: ν = 0 \nu=0 ν=0,起于 ( K , j 0 ) (K, j0) (K,j0)点, A ( 0 ) = K , ϕ ( 0 ) = 0 ∘ A(0)=K, \phi(0)=0^{\circ} A(0)=K,ϕ(0)=0∘
- 终点:与分母阶次 n n n和分子阶次 m m m有关, n = 2 , m = 0 , n > m n=2, m=0, n > m n=2,m=0,n>m,终点为原点,从 − 180 ° -180° −180°方向回到原点, A ( ∞ ) = 0 , ϕ ( ∞ ) = − 18 0 ∘ A(\infty)=0, \phi(\infty)=-180^{\circ} A(∞)=0,ϕ(∞)=−180∘
- 其频率特性为:
G ( j ω ) = K − K T 1 T 2 ω 2 ( 1 + T 1 2 ω 2 ) ( 1 + T 2 2 ω 2 ) + − j K ( T 1 + T 2 ) ω ( 1 + T 1 2 ω 2 ) ( 1 + T 2 2 ω 2 ) G(j\omega)=\frac{K-KT_{1}T_{2}\omega^2}{(1+T_{1}^2\omega^2)(1+T_{2}^2\omega^2)}+\frac{-j K (T_{1}+T_{2})\omega}{(1+T_{1}^2\omega^2)(1+T_{2}^2\omega^2)} G(jω)=(1+T12ω2)(1+T22ω2)K−KT1T2ω2+(1+T12ω2)(1+T22ω2)−jK(T1+T2)ω- 与虚轴有交点,与实轴没有交点,令实部=0,解得 ω \omega ω代入虚部,即得到与虚轴的交点。
例2
已知系统的开环传递函数
G ( s ) = K s ( T 1 s + 1 ) ( T 2 s + 1 ) , ( K , T 1 , T 2 > 0 ) G(s)=\frac{K}{s(T_{1}s+1)(T_{2}s+1)}, (K, T_{1}, T_{2} > 0) G(s)=s(T1s+1)(T2s+1)K,(K,T1,T2>0)
实概略绘制系统开环幅相曲线。
解:
- 0 ∘ , − 9 0 ∘ , ( 0 , − 9 0 ∘ ) , ( 0 , − 9 0 ∘ ) 0^{\circ}, -90^{\circ}, (0, -90^{\circ}), (0, -90^{\circ}) 0∘,−90∘,(0,−90∘),(0,−90∘)总的为 ( − 9 0 ∘ , − 27 0 ∘ ) (-90^\circ, -270^{\circ}) (−90∘,−270∘)
- 起点: ν = 1 \nu=1 ν=1,起于无穷远处,相角为 − 9 0 ∘ -90^{\circ} −90∘
- 终点:与分母阶次 n n n和分子阶次 m m m有关, n = 3 , m = 0 , n > m n=3, m=0, n > m n=3,m=0,n>m,终点为原点,从 − 270 ° -270° −270°方向回到原点
- 它与实轴应该有一个交点
- 系统开环频率特性为
G ( j ω ) = − K ( T 1 + T 2 ) ω ω ( 1 + T 1 2 ω 2 ) ( 1 + T 2 2 ω 2 ) − j K ( 1 − T 1 T 2 ω 2 ) ω ( 1 + T 1 2 ω 2 ) ( 1 + T 2 2 ω 2 ) G(j\omega)=\frac{-K(T_{1}+T_{2})\omega}{\omega(1+T_{1}^2\omega^2)(1+T_{2}^2\omega^2)}-j\frac{K(1-T_{1}T_{2}\omega^2)}{\omega(1+T_{1}^2\omega^2)(1+T_{2}^2\omega^2)} G(jω)=ω(1+T12ω2)(1+T22ω2)−K(T1+T2)ω−jω(1+T12ω2)(1+T22ω2)K(1−T1T2ω2)
- 实部为负,虚部可正可负可为0,故图像在第二、三象限
- 当 ω = 0 \omega=0 ω=0时, R e ( G ) = − K ( T 1 + T 2 ) Re(G)=-K(T_{1}+T_{2}) Re(G)=−K(T1+T2),故开环幅相曲线在 ω = 0 \omega=0 ω=0时,起点在第三象限,沿渐近线 R e ( G ) = − K ( T 1 + T 2 ) Re(G)=-K(T_{1}+T_{2}) Re(G)=−K(T1+T2)从无穷远点起始
- 令虚部=0,解得 ω \omega ω,代入实部,得与实轴得交点
- 当 ω → ∞ \omega \to \infty ω→∞时, R e ( G ) < 0 , I m ( G ) > 0 Re(G)<0, Im(G)>0 Re(G)<0,Im(G)>0,所以开环幅相曲线在 ω → ∞ \omega \to \infty ω→∞时在第二象限沿正虚轴趋于原点。
对比例1和例2,,例2多了一个积分环节,所以曲线顺时针旋转 9 0 ∘ 90^\circ 90∘,又因为 ν = 1 \nu=1 ν=1,所以起点是无穷远处。
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