【每日一题】 1584. 连接所有点的最小费用
避免每日太过咸鱼,一天搞定一道LeetCode算法题
一、题目描述
给你一个points 数组,表示 2D 平面上的一些点,其中 points[i] = [xi, yi] 。
连接点 [xi, yi] 和点 [xj, yj] 的费用为它们之间的 曼哈顿距离 :|xi - xj| + |yi - yj| ,其中 |val| 表示 val 的绝对值。
请你返回将所有点连接的最小总费用。只有任意两点之间 有且仅有 一条简单路径时,才认为所有点都已连接。
提示:
-
1 <= points.length <= 1000
-
-106 <= xi, yi <= 106
-
所有点
(xi, yi)
两两不同。
示例 1:
输入:points = [[0,0],[2,2],[3,10],[5,2],[7,0]]
输出:20
解释:
我们可以按照上图所示连接所有点得到最小总费用,总费用为 20 。
注意到任意两个点之间只有唯一一条路径互相到达。
示例 2:
输入:points = [[3,12],[-2,5],[-4,1]]
输出:18
示例 3:
输入:points = [[0,0],[1,1],[1,0],[-1,1]]
输出:4
示例 4:
输入:points = [[-1000000,-1000000],[1000000,1000000]]
输出:4000000
示例 5:
输入:points = [[0,0]]
输出:0
二、题解
1. 解法
根据题意,我们得到了一张 n 个节点的完全图,任意两点之间的距离均为它们的曼哈顿距离。现在我们需要在这个图中取得一个子图,恰满足子图的任意两点之间有且仅有一条简单路径,且这个子图的所有边的总权值之和尽可能小。
能够满足任意两点之间有且仅有一条简单路径只有树,且这棵树包含 n 个节点。我们称这棵树为给定的图的生成树,其中总权值最小的生成树,我们称其为最小生成树。
最小生成树有一个非常经典的解法:Kruskal 。
1. 解法
解题思路:
Kruskal 算法是一种常见并且好写的最小生成树算法,由 Kruskal 发明。该算法的基本思想是从小到大加入边,是一个贪心算法。
其算法流程为:
将所有边按照权值的大小进行升序排序,然后从小到大一一判断,条件为:如果这个边不会与之前选择的所有边组成回路,就可以作为最小生成树的一部分;反之,舍去。直到具有 n 个顶点的连通网筛选出来 n-1 条边为止。筛选出来的边和所有的顶点构成此连通网的最小生成树。
在实际代码中,我们首先将这张完全图中的边全部提取到边集数组中,然后对所有边进行排序,从小到大进行枚举,每次贪心选边加入答案。使用并查集维护连通性,若当前边两端不连通即可选择这条边。
java代码实现如下:
public static int minCostConnectPoints(int[][] points) {
//顶点数
int n = points.length;
DisjointSetUnion dsu = new DisjointSetUnion(n);
/*
* 获取连通网中的所有的边 并对其进行排序处理
*/
List<Edge> edges = new ArrayList<Edge>();
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = i + 1; j < n; j++) {
edges.add(new Edge(dist(points, i, j), i, j));
}
}
Collections.sort(edges, Comparator.comparingInt(edge -> edge.len));
int ret = 0, num = 1;
/*
* 将所有边按照权值的大小进行升序排序,然后从小到大一一判断,条件为:
* 如果这个边不会与之前选择的所有边组成回路,就可以作为最小生成树的一部分;反之,舍去
*/
for (Edge edge : edges) {
int len = edge.len, x = edge.x, y = edge.y;
if (dsu.unionSet(x, y)) {
ret += len;
num++;
if (num == n) {
break;
}
}
}
return ret;
}
public static int dist(int[][] points, int x, int y) {
return Math.abs(points[x][0] - points[y][0]) + Math.abs(points[x][1] - points[y][1]);
}
static class DisjointSetUnion {
int[] f;
int[] rank;
int n;
public DisjointSetUnion(int n) {
this.n = n;
this.rank = new int[n];
Arrays.fill(this.rank, 1);
this.f = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
this.f[i] = i;
}
}
/**
* 找到传入x节点的root节点
*
* @param x 顶点
* @return root节点
*/
public int find(int x) {
return f[x] == x ? x : (f[x] = find(f[x]));
}
/**
* 判断传入的顶点是否在图中形成回路
*/
public boolean unionSet(int x, int y) {
// 找到 x y 的根节点位置 fx fy
int fx = find(x), fy = find(y);
// 如果fx = fy 就是同一个根节点 直接返回false
if (fx == fy) {
return false;
}
if (rank[fx] < rank[fy]) {
// 进来代表根节点是fy 为了方便后面rank路径压缩 和 指向root节点 所以交换 fx fy
int temp = fx;
fx = fy;
fy = temp;
}
// 选定第一次过来的 fx 为根节点
rank[fx] += rank[fy];
// 将fy的位置指向根节点
f[fy] = fx;
return true;
}
}
static class Edge {
int len, x, y;
public Edge(int len, int x, int y) {
this.len = len;
this.x = x;
this.y = y;
}
}
复杂度分析
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时间复杂度:O(n^2 log(n)),其中 n 是节点数。一般 Kruskal 是 O(mlog m)的算法,但本题中 m=n^2 ,因此总时间复杂度为 O(n^2 log(n))。
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空间复杂度:O(n^2),其中 n是节点数。并查集使用 O(n)的空间,边集数组需要使用 O(n^2)的空间。
题目来源:力扣(LeetCode)
链接:https://leetcode-cn.com/problems/distance-between-bus-stops
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