标题数字 阅读与创造——读戴德金之三

17世纪末叶，德国学者莱布尼兹在设想普遍语言可能的时候，从算术加想到了逻辑加。逻辑大概从这个时候开始，就和数学有了一种天然的联系。莱氏的这个设想经历一个半世纪，大约有150多年之久吧。19世纪的50年代，英国学者布尔进一步发展了逻辑加，除了逻辑加之外，还有逻辑乘，由此而有了逻辑代数。所以，在现代逻辑学的发展史上，布尔的这个贡献被看作是：

他使逻辑从认识论的统治下解放出来，从而使得逻辑作为一门独立的科学获得了新生。
（威廉.涅尔《逻辑学的发展》第518页）

现代逻辑随后的发展，似乎在英国和欧洲大陆之间交替演进。逻辑因为有了算术的加乘运算，而从传统走向了现代，那么它还可以从算术当中找到前行的动力么？数学史和逻辑史似乎都在告诉我们，算术基础问题的研究，特别是数本身的基础性研究，是数学、自然包括逻辑学发展的巨大推力。
数本身的基础性问题，离不开对于戴德金“切割”cut的理解，戴德金1872年发表的《连续性与无理数》一文，给我们填补了实数的空隙，由此而有了那个著名的戴德金-康托尔公理。继续阅读戴德金随笔中的第二篇《数的意义与性质》，那个时代有关数本身研究的故事，似乎透过戴德金那篇有点晦涩的第一版前言，展现了当时欧洲大陆数学家在“数”这个概念面前的点点滴滴。因此，仅就戴德金的这篇前言弄点感悟出来，好像就成了文字宣泄的需要，于是我敲起了键盘。
戴德金

标题一、数的本质：数概念独立于时空，也独立于直觉，它是人类心灵的自由创造

这个世界，如果没有共通的自然语言，人与人之间就很难沟通。而如果没有数字，人际之间的沟通似乎就是没有意义的。人际之间为什么要沟通？可以想象到的一个合理缘由，大概沟通的目的大都为交换吧，而均等公平的交换显然离不开“计数能力”。人类这种本初的计数能力就导致心灵的思考，用戴德金的话来说就是：

如果仔细考量，我们在为一堆东西计算总量，或者为许多东西给出数字时，我们所做的事情，那就会导致我们思考这样一种属于人类心灵的能力：这种能力把一类事情和另一类事情联系起来，或者让一个东西对应于另一个东西，或者用一个东西表述另一个东西。这种让一物联系于另一物的能力，使得思考称为可能，没有这种能力，思考就是不可能的。
（戴德金《数的理论随笔》第32页）

这样一种能力，应该是仅人类单独具有。具有这种能力的人，反过来思索这种能力的基础性所在，会让人觉得是一件怪怪的事情，有点吃饱了撑着没事干，想点招去寻事干的味道。不过，人类就是这副德性，数学家对这类数学问题的思考，不是颇有点类似哲学家就形而上学问题而进行的思考么。数学家这样的思考，戴德金是个典型例子。他花了很长的时间来反思这些基础性对象，思考的哲学结论，是把“数”看作是人类心灵的自由创造，看作是既独立于时空，也独立于直觉，仅来自心灵的构想。这个哲学式的结论，颇引发我的好奇。在如今讲究创新的这个信息时代，到处呼唤的口号就是创新。没有想到，创新这个语词，其实很早就被数学家所关注，数字的扩展和数字的基础性考察，由此而产生的一些相关于数字的新概念，几乎全都是创新的结果。在戴德金的这个前言中，他在前言中部，又再一次地强调这种创新，不过他加上了另一个因素：重复出现所提供的必然：

数学和其他科学中最伟大和最有成效的进步，不可变地是通过新概念的创造和引入而获得的，是通过复杂现象的反复出现所提供的必然而获得的。而所谓的复杂现象，它仅可以被旧的概念，以一种困难的形式加以控制。
（戴德金《数的理论随笔》第36页）

在《连续性和无理数》一文中，戴德金用“切割”概念给出了无理数的构想。那么这个随笔的第二篇《数字的意义和性质》，它是如何形成的？它又给出了哪些基础性的数概念呢？这些基础性的数概念，需要什么背景才能理解呢？继续阅读他的那篇第一版前言，大概会让我们对这类疑问，有一些启示性的答案。

标题二、健全常识感和个体推理行为的重复：

人在这个世界上生活，总会形成有关这个世界的常识性知识。依据戴德金的说法，理解数的基础性观念，只要具有健全良好的常识感就足够了，无需任何技术哲学或者数学方面哪怕是最低限度的知识储备。戴德金从正反两个方面，来给出他的论述。他先从消极的一面，然后来一个转折。我们先看他对于消极一面的描述，他对于具有健全常识感的读者，获取数学知识的三个感觉。
健全常识感圣诞日圣诞壁炉

他的第一个感觉，一个有健全常识感的读者，在面对一长串证明公式的时候，常常很难在数字隐藏的形式下获得认知。因为这些数字，我们日常使用的数字，它们是如此寻常地渗透于人们的普遍生活之中，这些数字几乎就是人的终生伴侣，而且还是忠诚的伴侣，数字似乎就代表了人生。对于这样熟悉的对象，我们还能够说什么呢？
数字：人生的伴侣
在这里插入图片描述

接之是他的第二个感觉，当一个读者面对摆在他面前的这些基础性观念时，他会受到来自两个方面的惊吓，一是被一长串简单推理系列所惊吓，这串推理系列对应于我们一步一步地阅读理解。二是被推理系列的那些平淡无奇的分离环节所惊吓，这串推理系列全都是是依赖数的法则而建立起来的。

他的第三个感觉，在被强制地导出寻求命题真的证明过程中，读者会逐渐地不那么耐心了，因为潜藏在他内心意识中的那些假定，似乎立刻就给他以证据和确信。好像那些推理过程不仅是多余，而且还是不必要似的。
这是读者在阅读有关数的著作时，被困惑、受惊吓和没有耐心的一面。但有健全常识感的读者，对于数字著作的阅读，还有与以上描述相反的一面。这个相反的一面，总是与思考过程中或多或少的重复相关联。
重复产生的必然

把这些求真的过程归约成更为简单的另一类，有这种可能性么？无论这类推理系列有多长，无论它有多少明显人工的痕迹，我们健全常识感的读者有这个归约能力么？戴德金似乎从刚才的困惑中看到了健全常识感的积极一面，立足于这一面的思考，让他获得了一个令人信服的证明，人们心中具有的真，或者说对这种真的信念，绝不是内心意识所给定，人们总是从一个一个的推理，它或多或少具有的完全重复当中来获得这类信念的。
这在有健全常识感，同时又付诸心力的读者的阅读过程中，可以很明显地显露出来。
人的思考可以分类为两种思考行为，一是那种快速操作的思考行为，因为其快，一般难以追踪。但有另一种行为，一个有涵养的读者在阅读中实施的行为。这种有涵养的阅读，总会留下一个一个行为步骤中或多或少的完全重复。
这里的一个一个行为步骤，指的是什么呢？往往指的是这样的阅读过程：
刚开始必须有反复的文本阅读，体验这种反复阅读所产生的疲倦感。
接之，凭着一份追求知识的执着，仔细咀嚼文本中的一字一句，深入体验字里行间可能具有的意蕴。
执着的阅读

然后，就有可能出现这样的情形，那同样读物中，也许有非常少的一部分受到关注，同时在读者的心灵中，也许在做着非常小的努力，或者一点点的尽心尽力。这种小小努力，对于聪明的读者去认知那个正确的，真实的语词而言，就是非常充分的。
而正是这样正确且真实的语词，伴之而来就有大可确信的成功概率。当然，如众所周知，甚至最熟练的专业文稿校对者，也可能让一个文本错讹逃过他的眼睛。也就是说，再聪敏的读者也可能是错误地在理解一个东西。不过，如果与文本相联系的思考链条完全地重复，这样的错讹就会是不可能。
所以，从出生之日起，在连续地并且是不断增长的测度中，我们就导向事物与事物的关联，并由此而使用心灵所具有的能力，依赖这种能力，数字就创造出来。依据这种连续不断产生的实践，虽然没有限定目标，但在我们人类最早的年代里，通过加入判断形式和推理链条形式，我们就获得了一堆实在的算术真理。我们最早的老师，把这类算术真理归结到某种简单的，自足的，在人类意识深处就给定的某种东西。
由此，这样的事情就发生了，许多非常复杂的概念（例如事物的“数”概念），就被错误地看作为简单的，其实它并不那么简单。在这个意义上，戴德金很早就产生一个意图，这就是为人们认为简单的数字，建立一个基础性科学。这样一门有关数字的基础性科学，将建立在一致性的基础之上。
戴德金的这个意图，在这篇前言中，有一个简要的勾勒，由此而可窥见，数的这个基础性科学，他的基础究竟在哪里。

标题三、戴德金的“数”研究简历和“数”基础科学要点

在前言的篇首，戴德金就已经说到了他的意图，戴德金说：因为人类特殊的心灵性质，所以我们有关数字的整个科学必须建立起来。他这个意图并非一时之见，而是戴德金长期思考的结果。在其《连续性与无理数》（1872）的论文发表之前，这篇文稿的构思已经基本形成。关于这个构思的起点，可以回溯到1853年。《论连续性和无理数》一文，该文中展现的无理数理论，于1853年秋天提出，该理论基于发生在有理数领域内的一些现象（见该书第四节），对这些数，戴德金使用语词“切割”cut，这是他最早的无理数研究。
那时的戴德金，似乎还是一个刚出校门的毕业生。接之的下一年，他有了宣读他论文的一个机会。

对于这个题目，我在1854年的夏天，偶然机会获得哥廷根的一个无薪大学教师职位，在进入这个哲学团队之前，我给出过一个讲演。该讲演的范围得到高斯的批准；但是，那里却不是进一步做细节讨论的地方。
（戴德金《数字理论随笔》第36页）

当这个构思出现之后，由于被不断增加的公职和其它一些丢不开的事物所干扰，这项研究有多次中断。直到1872-1878年期间，戴德金才有机会交付论文的第一个初稿，这个初稿是经若干数学家审阅，其中的一部分，戴德金还和一些教授做过讨论后才发表。
戴德金的这个理论，与德国数学家维尔斯特拉斯weierstrass(1815-1897，现代数学分析学之父）的理论，另一个是康托（德国1845-1918，集合论创始人）的理论，这两个理论同样的完美和严格，但戴的理论和它们有些不同，也许更简单，而且更容易理解。

《连续性与无理数》发表16年之后，即1888年，戴德金的另一篇随笔论文《数的意义与性质》一文出版。这篇论文，是实现戴德金为数学建立基础性科学意愿的一个标牌。该论文含有所有本质上属于数字基础的一些基本观念，并且对这些基本观念做了更为详尽的论述。我简要陈列如下：
论文初稿有相同的题目，并且，虽然章节的安排不是最好的次序，但是含有戴德金论文中的所有本质上属于基础性的观念，在这个文稿中，那些基本观念得到更为详尽的论述。
1、有限与无限
有限与无限之间尖锐差异的主要点，主要在定义（64），及其后面的定理中。见戴德金《数字随笔》第63页。
2、事物的数字概念
数的定义，及相关于数的一些定义，主要在定义（161），及随后的定理之中。见戴德金《数字随笔》第110页。
3、数学归纳法
作为完全归纳法而为人所知形式的那种证明（或者从n到n+1的推理），这实际上包含（59）完全归纳定理，（60）前驱定理（preceding theory），和（80）另一个完全归纳定理。见戴德金《数字随笔》第60页，第61页，第69页。
4、借助归纳的定义定理
归纳或者递归在数字领域的进一步运用，由此有定理（126）。见戴德金《数字随笔》第83页。
数学归纳法照

这篇读书笔记就暂且到此了，戴德金的切割，加上这个第二篇随笔带来的有关数字的基本观念，我们似乎看到了一个新的算术理论揭开了序幕。而算术的公理化理论，大概应该是现代逻辑得以继续发展的数学基石。像戴德金所描述的那个慢行读者那样，仔细琢磨戴德金的数学归纳法之后，我该再往前一步，消化消化另一位欧洲学者，意大利学者皮亚诺的算术理论了。