标题 戴德金的数学归纳法 戴德金读后之五（尾篇）
理解戴德金完全归纳法的观念背景，似乎是在做一场哲学思辨。你面对的是那些在生活学习中经常碰到的一些抽象物，引你遐思，好像总能有些许领悟的感觉。但是，当你深入到戴德金为这个完全归纳法提供的证明，再面对他一组复杂的符号串的时候，你则会一脸懵圈，有可能是一番不知所云之感。
这当然会让你寻找一些和戴德金著作相关的一些读物，让朦胧和晦涩有所消退。由是，这戴德金阅读的尾篇，就从朱言钧先生的一个评论开始。
朱言钧简介
读戴德金的双重感受，在朱言钧先生那里，编译戴德金著作的民国数学家朱言钧那里，好像有点共鸣。朱君在民国二十四五年之交编译《实数探原》一书，就戴德金随笔《数的意义与性质》一文，做过这样的评论：
***综其大旨，欲将自然数归于最显之观念。吾人生长于此，俯仰观察之所得者虽错综纷纭，要能将事事物物，彼此分辨，查其同异，集合之，剖析之以考其间之关系。故物系（指英文的thing和system）之意，实为人类理性中最初最浅之观念。其次则有分系（指英文part），合系（compound system），又如事物之相应（corresponds to），摄影（指变换transformation）之相似（similar）；将此种种发挥而宣忁之以证自然数之理；如是则本源易明，条贯可立，诚所谓体大思精，创新时代之著作也。
译文冠以“数之意义”，自信尚足达作者原诣，又本文初次发表于1887年殚十余年之力，下笔抒词，一字不苟。其用意所在，既略如上述，读此文者苟反复思索，自能渐有所悟，初不必有何数学知识也。前三段既明基本之观念，继此复有所谓链系统（chain）之说。***（朱言钧编著《实数探原》第79页）
这个评论，告诉我们，戴氏这个随笔的前三段好读，但自此以下，恐怕有点绞人脑汁了。因此，本篇作为读戴德金的尾篇，只对戴德金的归纳法作粗略陈述。算术理论的进一步理解，寄托在读另一位欧洲人的著作，意大利数学家皮亚诺的著作之中，且待日后的读皮亚诺感受。
标题一、戴德金数学归纳法的基础定理59：完全归纳定理
随笔《数学的意义与性质》中，定理59称完全归纳定理。这个定理59，依朱先生之言，是随后的定理60与定理80，也就是常称数学归纳法的基础。
理解这个完全归纳法，需要回溯前面的定理和定义，特别是链的定义。
何以为链？以定义37为据：若一个系统K有部分在，这个K就可以称为链。戴德金完全归纳定理59，我结合朱君的《实数探原》，理解为以下的描述：
有任意系统Σ，另有一个链A0，它是Σ的部分，不论这个Σ是否是一个系统S的部分，以下两点是充分可证的。（注意，依据定义44，这里的A是系统S的任意部分，而链A0，则是所有那些有A为部分所形成之链的公共体。）
先证1
1.A是Σ的部分
证明：
链A0，为Σ部分。由此，链A0与Σ必有公部分G存在。因为A是链A0的部分，根据传递律，所以A亦为Σ部分。
这就证明了1.，我们再证2：
2.链A0和Σ的任意公元素的变换（在今天的数学中，“变换”（transformation）大概可以翻译为映射，朱言钧先生译为摄影），同样还是Σ的元素。
证明略述：
因为链A0是Σ的部分，G是链A0与Σ的公部分。所以，证明公部分G的每一个元素的变换依然还是Σ的元素，就是证明G=A0。因为A0的所有元素，都是Σ的元素。
这分为三步来走：
第一步，证明G是A0的部分。
由G=链A0与Σ的公部分，可知A0是G的部分。
第二步：证明G’是A0的部分。
依据定义25，G’是G的变换（映射），依据定理55，若G是A0的部分，则有G’是A0的部分。可知G’是A0的部分。
第三步;证明A0是G的部分。
依据定义18，G’作为链A0与Σ的公部分，也是G的部分。再据定义37，凡有部分的系统皆为链，所以G是一个链，如以上已证A是G部分。接之根据定理47，若A为链K之部分，则A0为链K之部分。
由此证明A0是G的部分。
综上两结论可得：A0=G。
由此而证明：链A0和Σ的任意公元素的变换，同样还是Σ的元素。
这就完成了戴德金完全归纳定理所涉及到的上述命题1和命题2的证明。有这个证明，我们似乎就靠近了数学中使用的数学归纳法。
标题二、戴德金完全归纳法另一个定理：定理60中的完全归纳法
定理59虽然有了两个命题的证明，但并没有完结，戴德金因此接之说：
在前的定理，荣当日后详论，但这个定理实际上就是以完全归纳法为名的证明形式（也就是从n到n+1的推理）。
（戴德金《数的意义与性质》第61页）
上述定理也可以换一种形式描述为：如若证明一个链A0的所有元素具有某个性质C，或者说，若证明某个定理D，它涉及到一个未予确定的东西n，这个n实际上对于链A0的所有元素均为有效。
对这个描述所进行的证明，其证明的方式也如同定理59，即证明如下两个命题：
命题1：链A0的所有元素a具有性质C，或者说定理D对于一切a有效。
命题2：链A0的所有元素a，如果具有性质C，则它的变换（映射）也有性质C。或者换言之，如果一个定理D，它对于链A0的任意一个元素n有效，那么，它一定对于n的变换n’也有效。
那么，为什么定理59更为基础呢？这也如戴德金所言，定理59面对的是所有的东西（things），然后那单个的东西被我们理解为一个系统的元素。于是我们以东西（thing）为出发点，继而有了元素-系统-部分-公元素-公部分-链-变换-类似等一系列基本概念。而定理60，则是在上述定理59和上述基本概念基础上，加进了一个新观念，有关元素的“性质”（property）概念而生成的，这似乎是在定理59基础上的一个延申。从构成世界的东西到元素，再从元素延伸到元素的性质。这也是戴德金讨论数字的意义与性质之前，他必须得事先引入的基本观念。
标题三、数字中的完全归纳定理：定理80
戴德金的完全归纳法还没有到达数字领域，如同定理60有新概念引入一样。在给出定理80的时候，也需要新的观念引入。以便戴德金来讨论他随笔的主题，数的意义与性质。于是，在讨论了一般的无限与有限之后，随笔的第六节，自然数系列作为简单无限之系统出现了。我们在戴德金的这一节中看到，自然数系列N被看作是一条无限的链。
随之，数字1作为某个元素成为自然数的基底。因为元素1在N中，元素1之后的接续元素，都被看作是对N元素的变换（映射）而生成。这个生成后的元素系列就成为一个链，依据前述章节有关链的定义和表示方法，这个链也就可以表示为链10。
由此，一个无限自然数的系列N = 10。数字具有什么意义与性质，在这样的数字描述中，我们应该已经有一点感觉了。这个感觉留待读皮亚诺之后再来陈述，本尾篇之末，且将文字留给戴德金的定理80。正是这个定理80，给出了戴德金的数学归纳法，为一般数字给出的数学归纳法。
这个定理80的描述风格，几乎完全类同于定理59与定理60。
定理80.完全归纳定理（从n到n’的推理）。为了证明一个定理对于一个链m0的所有数字n都是有效的，证明以下两点就足够了。
1.在n = m的时候有效。
2.若此定理对于一个链m0的一个数字n是有效的，则它对于n其后的数字n’同样有效。
这个结果可以立刻从更具一般性的定理59和定理60推导而得，它出现得最经常的情形就是自然数的情形，即m = 1，m0 = N。
读到这个定理80，我好像又有如同朱言钧先生一样的感觉，也就无需多言，引用他在这个定理后的评论作为本篇的结语。
案立义如此，可谓切实精要，密合无间；读之令人斗然记忆；循编逐节以索，又一一得理之来源。继此以往，更见从前所论，伏脉至细，种因至远，使全局应有之理，逐处涌现，随地关合，苟能反复勤求，其乐有不可胜言者。
（朱言钧编著《实数探原》第70页）