• 欧拉方程
  戴蒙德世代交替模型考虑了人口的新老更替。假设在第 $t$期有 $L_t$人出生，人口增长率为 $n$,因此 $L_t=(1+n)L_{t-1}$。在 $t$期有 $L_t$人处于寿命的第一个时期， $L_{t-1}=L_t/(1+n)$处于寿命的第二时期。
  令 $C_{1t}$和 $C_{2t}$分别表示第t期年轻人和老人的消费，于是出生于t期的人们的效用假设为
  $U_t=\frac{C_{1t}^{1-\theta}}{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho}\frac{C_{2t+1}^{1-\theta}}{1-\theta}$
  实际利率为 $r_t=f'(k_t)$，单位有效劳动的平均工资为 $w_t=f(k_t)-k_tf'(k_t)。$
  出生与t期的人在第二期的消费为
  $C_{2t+1}=(1+r_{t+1})(w_tA_t-C_{1t})$
  整理得
  $C_{1t}+\frac{1}{1+r_{t+1}}C_{2t+1}=A_tw_t$
  这个式子表明终生消费的现值应等于初始财富加上终生劳动收入的现值。
  拉格朗日函数：
  $L=\frac{C_{1t}^{1-\theta}}{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho}\frac{C_{2t+1}^{1-\theta}}{1-\theta}+\lambda[A_tw_t-(C_{1t}+\frac{1}{1+r_{t+1}}C_{2t+1})]$
  FOCs:
  $C_{1t}^{-\theta}=\lambda\\ \frac{1}{1+\rho}C_{2t+1}^{-\theta}=\frac{1}{1+r_{t+1}}\lambda$
  消去 $\lambda$得
  $\frac{1}{1+\rho}C_{2t+1}^{-\theta}=\frac{1}{1+r_{t+1}}C_{1t}^{-\theta}$
  整理得： $\frac{C_{2t+1}}{C_{1t}}=(\frac{1+r_{t+1}}{1+\rho})^{1/\theta}$
  上式就是欧拉方程
• $k$的运动方程
  t+1期的资本存量等于年轻人在t期的储蓄，因此
  $K_{t+1}=s(r_{t+1})L_tA_tw_t$
  两边除以 $L_{t+1}A_{t+1}$:
  $K_{t+1}=\frac{1}{(1+n)(1+g)}s(r_{t+1})w_t$
  替换掉 $r_{t+1},w_t$:
  $k_{t+1}=\frac{1}{(1+n)(1+g)}s(f'(k_{t+1}))[f(k_t)-k_tf'(k_t)]$

- $k$的收敛
由欧拉方程和约束式可得
$C_{1t}=\frac{(1+\rho)^{1/\theta}}{(1+\rho)^{1/\theta}+(1+r_{t+1})^{(1-\theta)/\theta}}A_tw_t$
那么储蓄比例为
$s(r)=\frac{(1+r)^{(1-\theta)/\theta}}{(1+\rho)^{1/\theta}+(1+r)^{(1-\theta)/\theta}}$
当 $\theta=1$时，
$s=\frac{1}{2+\rho}$
我们设生产函数为柯布道格拉斯函数，即 $f(k)=k^a,f'(k)=ak^{a-1}$
那么k的运动方程为
$k_{t+1}=\frac{1}{(1+n)(1+g)}\frac{1}{2+\rho}(1-a)k_t^a$
当 $k_{t+1}=k_t$时收敛，求解得
$k^*=[\frac{1-a}{(1+n)(1+g)(2+\rho)}]^{1/(1-a)}$

• 收敛速度
  我们将 $k_{t+1}$在 $k^*$处展开
  $k_{t+1}\approx k^*+(\frac{dk_{t+1}}{dk_t}|_{k_t=k^*})(k_t-k^*)$
  其中
  $\frac{dk_{t+1}}{dk_t}|_{k_t=k^*}=a\frac{1-a}{(1+n)(1+g)(2+\rho)}{k^*}^{a-1}=a$
  由于 $a$处于0到1之间，因此 $k$会平滑地收敛与 $k^*$。