题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/5/

有$N$种物品和一个容量是$V$的背包。第$i$种物品最多有$s_i$件，每件体积是$v_i$，价值是$w_i$。求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。输出最大价值。

数据范围：
$0<N\le 1000$
$0<V\le 2000$
$0<v_i,w_i,s_i\le 2000$

思路是动态规划。但这里需要用二进制优化，其基本思路是，将每个物品的个数$s$拆成若干个形如$2^k$的个数的”打包”，这样就将多重背包问题转为了$0-1$背包问题了，从而将时间复杂度降为$O(V{\sum }_{i=1}^N\log s_i)$。例如，如果一个物品有$10$个，那么可以将它拆成$1+2+2^2+3$，这样这个物品的所有取法，一定包含于将其拆成若干小块，每个小块最多取一个的取法。其正确性证明参考https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/104097159。代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 25000, M = 2010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main() {
    
    
    cin >> n >> m;

    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
        int a, b, s;
        // a是价值，b是重量，s是个数
        cin >> a >> b >> s;
        // 下面将s拆分成2的幂次
        int k = 1;
        while (k <= s) {
    
    
            cnt++;
            v[cnt] = a * k;
            w[cnt] = b * k;
            s -= k;
            k <<= 1;
        }
		
		// 如果没拆干净，把剩余的部分也打包
        if (s > 0) {
    
    
            cnt++;
            v[cnt] = a * s;
            w[cnt] = b * s;
        }
    }
	
	// 拆完后新的个数重新赋值，然后做0-1背包
    n = cnt;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = m; j >= 0; j--)
            if (j >= v[i])
                f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]); 

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

时间复杂度$O(({\sum }_{i=1}^N\log s_i)V)$，空间$O(V)$。

代码里$N$开$25000$是$1000\times \log 2000$算出来的。