经典的01背包问题求解的是最大值,本题要求恰好等于某个值M,如何进行转化?
可以求解在小于等于M条件下的最大值,如果它小于M,那么问题无解,如果它等于M,那么找到了解。因此这题,weight,value都是货币的面值。
dp数组的计算,路径回溯都有固定的写法,这题的难点在于如何保证回溯出来的路径序列最小?
序列最小的定义可以这样表述,即位置靠前的数其值越小,序列越小。
而路径回溯是从“靠后”的数开始,回溯到“靠前”。
因此可以想到这样的策略,把货币从大到小排列,这样回溯时是从小面值货币开始,这里关键的逻辑是,若在某点出现这个货币选与不选,dp值相等,那么选,而不是不选,只有这样才能保证序列最小。
代码:
#include <cstdio>
#include <algorithm>
int N, M;
bool cmp(int a, int b);
int main(){
scanf("%d%d", &N, &M);
int coin[N+1];
int len=0;
for(int i=0; i<N; i++){
int a;
scanf("%d", &a);
if(a<=M) coin[++len] = a;
}
std::sort(coin+1, coin+len+1, cmp);
int dp[len+1][M+1]={
};
for(int i=1; i<=len; i++){
for(int x=1; x<=M; x++){
if(x>=coin[i]) dp[i][x] = std::max(dp[i-1][x], dp[i-1][x-coin[i]]+coin[i]);
else dp[i][x] = dp[i-1][x];
}
}
if(dp[len][M]!=M) printf("No Solution");
else{
bool selected[len+1]={
};
int i=len, x=M, sc=0;
while(i>0 && x>0){
if(dp[i-1][x]==dp[i-1][x-coin[i]]+coin[i] || dp[i][x]!=dp[i-1][x]){
//从后往前回溯,若选与不选dp相等,优先选,这样能保证序列最小
selected[i] = true;
sc++;
//i--;
//x -= coin[i];
x -= coin[i];
i--;
}
else{
i--;
}
}
for(int j=len; j>=1; j--){
if(!selected[j]) continue;
printf("%d", coin[j]);
sc--;
if(sc>0) printf(" ");
}
}
return 0;
}
bool cmp(int a, int b){
return a>b;
}