126. 最大的和

给定一个包含整数的二维矩阵，子矩形是位于整个阵列内的任何大小为1 * 1或更大的连续子阵列。

矩形的总和是该矩形中所有元素的总和。

在这个问题中，具有最大和的子矩形被称为最大子矩形。

例如，下列数组：

0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

其最大子矩形为：

9 2
-4 1
-1 8

它拥有最大和15。

输入格式
输入中将包含一个$N\ast N$的整数数组。

第一行只输入一个整数$N$，表示方形二维数组的大小。

从第二行开始，输入由空格和换行符隔开的$N^2$个整数，它们即为二维数组中的$N^2$个元素，输入顺序从二维数组的第一行开始向下逐行输入，同一行数据从左向右逐个输入。

数组中的数字会保持在[-127,127]的范围内。

输出格式
输出一个整数，代表最大子矩形的总和。

数据范围
$1\le N\le 100$
输入样例：

0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

输出样例：

15

思路

假设我们用s[i][j]表示从（0，0）位置到 （i，j）位置的所有元素的和，则s[i][j]的计算如下图：

那么以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和怎么求呢?如下图所示：

有了二维数组的前缀和，我们只需要枚举一下所有的子矩阵，求出最大值即可。

Java代码

import java.util.Scanner;

public class Main {
    
    
    public static void main(String[] args) {
    
    
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int n = scanner.nextInt();
        int[][] arr = new int[n + 1][n + 1];//避免下标转换
        int[][] s = new int[n + 1][n + 1];//前缀和数组
        //读取数据
        for(int i = 1;i <= n ;i++){
    
    
            for(int j = 1;j <= n;j++){
    
    
                arr[i][j] = scanner.nextInt();
            }
        }

        //计算二维前缀和s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + arr[i][j]
        //这里就显示了我们将下标设置为成1开始的优势了，i - 1最小也是0，而s[0][j]默认都是0，公式中加上0也没事
        //但如果下标从0开始，则s[i-1][j]中的i-1可能会下标越界，需要我们特判，增加麻烦
        for(int i = 1;i <= n;i++){
    
    
            for(int j = 1;j <= n;j++){
    
    
                s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + arr[i][j];
            }
        }

        int res = Integer.MIN_VALUE;
        for(int x2 = 1;x2 <= n;x2++){
    
    
            for(int y2 = 1;y2 <= n;y2++){
    
    //枚举子矩阵的右下角(x2,y2)
                for(int x1 = 1;x1 <= x2;x1++){
    
    
                    for(int y1 = 1;y1 <= y2;y1++){
    
    //枚举子矩阵的左上角(x1,y1) 注for中条件为： (x1,y1)<= (x2,y2)
                        res = Math.max(res,s[x2][y2] - s[x1 -1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]);
                    }
                }
            }
        }
        System.out.println(res);
    }
}