定义$X(z)$的Z反变换(IZT)为$x(n)=\frac{1}{2\pi j}{\oint }_{C}X(z)z^{n-1}dz$，式中，C为收敛域内一条环绕原点的逆时针闭合围线。

求Z反变换的方法主要有两种，留数法和部分分式展开发。

由留数定理可知：若函数在围线c上连续，在c以内有K个极点，在c以外有M个极点，则有$\frac{1}{2\pi j}\int X(z)z^{n-1}dz={\sum }_{k}Res[X(z)z^{n-1}{]}_{z=z_k}$
当极点为一阶时的留数为$Res[X(z)z^{n-1}{]}_{z=z_r}=[(z-z_r)X(z)z^{n-1}{]}_{z=z_r}$
当极点为多重极点时的留数为$Res[X(z)z^{n-1}{]}_{z=z_r}=\frac{1}{(l-1)!}\frac{d^{l-1}}{d{z}^{l-1}}[(z-z_r{)}^{l}X(z)z^{n-1}{]}_{z=z_r}$

部分分式法把x的一个实系数的真分式分解成几个分式的和，使各分式具有$\frac{a}{(x+A{)}^k}$或者$\frac{ax+b}{(x^2+Ax+B{)}^k}$的形式

通常情况下传递函数可分解为$X(z)=\frac{B(z)}{A(z)}=\frac{{\sum }_{i=0}^M{b}_i{z}^{-i}}{1+{\sum }_{i=1}^N{a}_i{z}^{-i}}$

MATLAB的符号数学工具箱提供了计算Z变换的函数ztrans和Z反变换的函数iztrans，其调用形式为

F=ztrans(f)
f=iztrans(F)

其中，右端的f和F分别为表示时域表达式和z域表达式的符号，可用函数sym来实现，其调用格式为

S=sym(A)

在MATLAB中，留数法求Z反变换可用函数residuez实现，调用格式如下：

[R P K] = residuez(B,A)

其中，B和A分别为X(z)多项式中分子多项式和分母多项式的系数向量，返回值R为留数向量，P为极点向量，二者均为列向量，返回值K为直接项系数，仅在分子多项式最高次幂大于等于分母多项式最高次幂时存在，否则，返回值为空

例：求$f(n)=sin(ak)u(k)$的Z变换和$F(z)=\frac{z}{(z-3{)}^2}$的Z反变换
运行程序如下：

f=sym('sin(a*k)');
F=ztrans(f)
F=sym('z/(z-3)^2');
f=iztrans(F)

Z变换运行结果如下：

F =

(z*sin(a))/(z^2 - 2*cos(a)*z + 1)

Z逆变换运行结果如下：

f =

3^n/3 + (3^n*(n - 1))/3

例：求$X(z)=\frac{(1+0.4z^{-1}{)}^2}{(1+0.8z^{-1}{)}^2(1-0.5z^{-1}{)}^2(1+0.1z^{-1})}|z|>0.8$的Z反变换

运行程序如下：

clear all;close all;clc;

B = poly([-0.4 -0.4]);
A = poly([-0.8 -0.8 0.5 0.5 -0.1]);

[R P K] = residuez(B,A);
R = R'
P = P'
K

运行结果如下：

R =

   0.2842 + 0.0000i   0.1082 - 0.0000i   0.2031 - 0.0000i   0.3994 + 0.0000i   0.0051 + 0.0000i


P =

  -0.8000 - 0.0000i  -0.8000 + 0.0000i   0.5000 - 0.0000i   0.5000 + 0.0000i  -0.1000 + 0.0000i


K =

 []

参考文献：

1. 《精通MATLAB信号处理》，沈再阳编写，清华大学出版社