离散数学(二)之特殊关系(内容来自冯伟森《离散数学》教材+课件)
等价关系
等价关系与等价类
**1.等价关系:**设R是非空集合A上的一个二元关系,如果R是自反的、对称的和可传递的,称R是A上的一个等价关系。
**2.等价类:**设R是非空集合A上的一个等价关系。对每一个a∈ A,记 [a]R={ x | x∈ A,且xRa },称A的子集合[a]R为关系R的一个等价类, a称为代表元素。 [a]R可以简记为[a]。
等价类特点: 同一子集中的元素之间有关系R,不同子集的元素间无关系R。
等价类的性质
定理 设R是非空集合A上的等价关系,则
① 对任意x∈A, [x]R≠Φ ;
② 对任意a, b∈A, 要么[a]=[b], 要么[a]∩[b]=Φ;
③ U[a]=A。
划分
**1.定义:**设A是一个非空集合, A1, A2, …, Am都是A的非空子集,集合族π={A1, A2, …, Am},如果
- π是A的覆盖,即UAi=A
2)Ai∩Aj=∅(i,j=1,2,…m且i≠j)
则称π是集合A上的一个划分,记为π(A); 而A1,A2,A3,…Am称为这个划分的块。
2.等价关系与划分的联系
**定理:**非空集合A上每一个等价关系都能决定A的一个划分; A的每个划分都能导出A上的 一个二元等价关系。(等价类和划分是相同概念的不同描述)
偏序关系
定义
设R是非空集合A上的二元关系。如果R是自反的, 反对称的和可传递的,则称R是A上的一个偏序关系。称序偶〈A, R〉 为偏序集合。偏序集〈A, R〉 常记为〈A, ≼〉 。R是偏序时, aRb就记为a ≼ b。
哈斯图
1.从关系图得到Hassea图的方法:
(1) 去掉自环; (自反性)
(2) 去掉传递边; (传递性)
(3) 将所有箭头朝上,去掉箭头的方向。
(反对称性)
2.可比较与不可比较
定义:设a和b是偏序集〈A, ≼〉中的两个元素。如果a≼b或b≼a之一成立,则称a和b是可比较的;反之则称a和b是不可比较的。
在哈斯图中,元素分层排列,同一层元素不可比较。
偏序集的特殊元素
1.极大元、极小元
定义:设〈A, ≼〉 是一个偏序集, a是A中元素,
① 若∀x∈ A,或者x≼a,或者x与a不可比, 则称a是A中的一个极大元。
② 若∀x∈ A,或者a≼x,或者a与x不可比, 则称a是A中的一个极小元。
2.最大元、最小元
定义:设〈A, ≼〉 是一个偏序集, a是A中元素,
① 若∀x∈ A,均有x≼a, 则称a是A中的最大元。
② 若∀x∈ A,均有a≼x, 则称a是A中的最小元。
3.上界、下界
定义:设〈A, ≼〉 是一个偏序集, B⊆ A, a是A中元素,
① 如果∀b∈ B,均有b≼a, 则称a是子集B的一个上界。如果a’是B的任意一个上界时,都有a≼a’,则称a是B的最小上界,记为lub。
② 如果∀b∈ B,均有a≼b, 则称a是子集B的一个下界。如果a’是B的任意一个下界时,都有a’≼ a,则称a是B的最大下界 ,记为glb。
全序集与良序集
全序集
定义:如果偏序集〈A, ⋞〉 中的任何两个元素都是可比较的,则称⋞是A上的一个全序(线序)关系,这时的序偶〈A, ⋞〉 是全序集合或链。
定义:设<A, ≼>是一个偏序集, B⊆A。 如果<B,≼>是一个全序子集, 则称B为A中的一条链。链中元素数目减1称为该链的长度。
良序集合
定义:设〈A, ≼〉 是全序集,如果A的任何非空子集B都有最小元,就称〈A, ≼〉 为良序集。
例如: 〈N, ≼〉 是良序集 ;〈N, ≥〉 不是良序集。
一般地, 任何有限的全序集的每一个非空的子集一定有最小元, 所以, 有限全序集一定是良序集。对于无穷的全序集, 则并非如此。 如全序集<N,≼>是良序集, 但全序集<Z,≼>、<[0,1), ≼>都不是良序集,因为Z的子集(负整数集)和[0,1)的子集(0,1)都没有最小元。
偏序与全序的转化
定义:设≼和≼’是集合A上的两个偏序关系,如果对∀a,b∈A,每当a ≼ b时,有a ≼ b,则称关系≼与≼’是可比较的。
定义:设≼和≼’是集合A上的两个偏序关系。如果≼和≼’是可比较的,且≼’是全序关系,则称关系≼是关系 ≼’的一个拓扑排序。
由拓扑排序定义的全序关系是什么? 完全取决于极小元的选择方法。
定理: 任何有限偏序集都可以转变成全序集。