试题 算法训练 方格取数
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问题描述
设有NN的方格图(N<=10),我们将其中的某些方格中填入正整数,而其他的方格中则放入数字0。
某人从图的左上角的A 点(1,1)出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的B点(N,N)。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。
此人从A点到B 点共走两次，试找出2条这样的路径，使得取得的数之和为最大。
输入格式
输入的第一行为一个整数N（表示NN的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的0表示输入结束。
输出格式
只需输出一个整数，表示2条路径上取得的最大的和。
样例输入
8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0
样例输出
67
前言：昨天我写了一道单线程dp题的博客后，今天又迎来了顶尖硬货双线程dp，最开始只是想用递归想出来能不能做出来，想的比较简单了，知道我开debug后才知道这样只能得出局部最优解，而不能是全局最优解（第一次走的结果没有太大问题，但是到走第二次时，会有很多0，导致很多情况下结果会出错，即没有走对路），如果你想以递归的思想即把坐标作为实参一直传递，会出现错误判断的现象。
/这个是我最开始错误的思路：递归做法！事实证明不能得出结果 ！！
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
int ans = 0;
int cot = 0;
void func(int a[][10] , int x,int y,int n)
{
int i = x,j = y,k;
ans += a[i][j];
a[i][j] = 0;
if(x == n && y ==n)
{
cot++;
if(cot != 2)
{
func(a,1,1,n);
}
else
{
cout << ans << endl;
return;
}
}
if(x == n)
{
func(a,i,j+1,n);
}
if(y == n)
{
func(a,i+1,j,n);
}
a[i+1][j]>a[i][j+1] ? func(a,i+1,j,n) : func(a,i,j+1,n);
}
int main( )
{
int n,i,j,k;
cin >> n;
int a[10][10];
memset(a,0,sizeof(a));
while(i||j||k)
{
cin >> i >> j >> k;
a[i][j] = k;
}
func(a,1,1,n);
return 0;
}
思路与解析：
1、既然是多线程动态规划，那么我们要不用考虑每步怎么走，要想如何获得每一步得结果，即只要考虑走到每一步得情况下权值是多少，并且取每一步能获得的最大权值 来相加和，所以我们可以把本题看做两个人同时从（1,1）走到（n,n），但是要注意：当两个人某时走到同一坐标时，权值只能加和一次！
2、首先我们要用到一个四维数组dp[21][21][21][21]来记录权值的加和；
dp[i][j][k][l] 中 i表示第一个人的x坐标，j表示第一个人的列坐标，k表示第二个人的横坐标，l表示第二个人的列坐标
3、然后我们就需要列出一个 动态转移方程 ，即可以求出走每一步权值的一个规律方程式，得出方程的思路是：走到这一坐标只能是从这个坐标的左面或者上面来的，而且每次取每个人中从左面来或者右面来之中的最大值 ，再从这两个最大值中取最大的那个，这两个坐标作为路径的选择，然后加上两个人各自坐标的权值；所以我们不难推出代码：
dp[i][j][k][l]=max(max(dp[i-1][j][k-1][l],dp[i-1][j][k][l-1]),max(dp[i][j-1][k-1][l],dp[i][j-1][k][l-1]))+a[i][j]+a[k][l];
※但是刚才我们提到了当两个人走到同一坐标的情况：
如果走到了就减去一次当前的权值
if(i==k && l==j) //i,j与k,l相同
{
dp[i][j][k][l]-=a[i][j]; //-=[k][l]也一样咯
}
最后循环到(n,n,n,n)时，权值已经加和完毕，可以打印结果了：
cout<<dp[n][n][n][n]<<endl;
最后附上完整代码：
#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int dp[21][21][21][21],a[21][21],n,x,y,z;
int i,j,k,l;
cin>>n>>x>>y>>z;
while(x||y||z)
{
a[x][y]=z; //给数组赋值
cin>>x>>y>>z;
}
for(i=1;i<=n;i++) //第一个人从左或者上来，坐标都是从（1,1）开始所以循环从1开始
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
for(k=1;k<=n;k++) //第二个人也是从左或者上来
{
for(l=1;l<=n;l++)
{
dp[i][j][k][l]=max(max(dp[i-1][j][k-1][l],dp[i-1][j][k][l-1]),max(dp[i][j-1][k-1][l],dp[i][j-1][k][l-1]))+a[i][j]+a[k][l];
if(i==k&&l==j) //i,j与k,l相同，就减去一个人的权值
{
dp[i][j][k][l]-=a[i][j];
}
}
}
}
}
cout<<dp[n][n][n][n]<<endl;
return 0;
}